MATEMÁTICA 9°

SEMANA DEL 03 AL 06 DE NOVIEMBRE

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. CONTINUACIÓN

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Distancia de un punto a una recta

$d(P,r)=\left | \overline{PM} \right |$

$d(P,r)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ejemplo
Calcula la distancia del punto $P(2,-1)$ a la recta $r$ de ecuación $3x+4y=0$ .

$d(P,r)=\cfrac{\left | 3\cdot 2+4\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\cfrac{2}{5}$

Distancia al origen de coordenadas

$d(O,r)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta $r\equiv 3x-4y-25=0$
.
$d(O,r)=\cfrac{\left | -25 \right |}{\sqrt{3^{2}-(-4)^{2}}}=\cfrac{25}{5}=5$

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, $P$ , de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

$d(r,s)=d(P,s)$

Ejemplos

1 Hallar la distancia entre $r\equiv 3x-4y+4=0$ y $s\equiv 9x-12y-4=0$ .
Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas

$\cfrac{3}{-4}=\cfrac{9}{-12}\; \; \; -36=-36\; \; \; \Rightarrow \; \; \; r\parallel s$

Buscamos un punto para alguna de las rectas

$3\cdot 0-4y+4=0\; \; \; \; \; y=1$
$P(0,1)\; \epsilon \; r$

Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

$d(P,s)=\cfrac{\left | 9\cdot 0 -12\cdot 1-4\right |}{\sqrt{9^{2}+12^{2}}}=\cfrac{16}{15}$

2 Hallar la distancia entre las rectas:
$r\equiv \left\{\begin{matrix} x=2-3k\\ y=1+k \end{matrix}\right.$ $s\equiv \cfrac{x+3}{-3}=\cfrac{y+5}{1}$

$r\equiv x+3y-5=0$ $s\equiv x+3y+18=0$

$d(r,s)=\cfrac{18+5}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\cfrac{23}{\sqrt{10}}$

SEMANA DEL 26 AL 30 DE OCTUBRE

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Distancia de un punto a una recta

$d(P,r)=\left | \overline{PM} \right |$

$d(P,r)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ejemplo
Calcula la distancia del punto $P(2,-1)$ a la recta $r$ de ecuación $3x+4y=0$ .

$d(P,r)=\cfrac{\left | 3\cdot 2+4\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\cfrac{2}{5}$

Distancia al origen de coordenadas

$d(O,r)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta $r\equiv 3x-4y-25=0$
.
$d(O,r)=\cfrac{\left | -25 \right |}{\sqrt{3^{2}-(-4)^{2}}}=\cfrac{25}{5}=5$

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, $P$ , de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

$d(r,s)=d(P,s)$

Ejemplos

1 Hallar la distancia entre $r\equiv 3x-4y+4=0$ y $s\equiv 9x-12y-4=0$ .
Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas

$\cfrac{3}{-4}=\cfrac{9}{-12}\; \; \; -36=-36\; \; \; \Rightarrow \; \; \; r\parallel s$

Buscamos un punto para alguna de las rectas

$3\cdot 0-4y+4=0\; \; \; \; \; y=1$
$P(0,1)\; \epsilon \; r$

Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

$d(P,s)=\cfrac{\left | 9\cdot 0 -12\cdot 1-4\right |}{\sqrt{9^{2}+12^{2}}}=\cfrac{16}{15}$

2 Hallar la distancia entre las rectas:
$r\equiv \left\{\begin{matrix} x=2-3k\\ y=1+k \end{matrix}\right.$ $s\equiv \cfrac{x+3}{-3}=\cfrac{y+5}{1}$

$r\equiv x+3y-5=0$ $s\equiv x+3y+18=0$

$d(r,s)=\cfrac{18+5}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\cfrac{23}{\sqrt{10}}$

SEMANA DEL 19 AL 23 DE OCTUBRE

GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Distancia entre dos puntos.Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.

Historia

Geometría analítica, rama de la Geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante Expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del Plano se puede localizar con respecto a un par de ejes Perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
Uno los filósofos más notables que contribuyó al desarrollo de las Matemáticas fue [René Descartes]] pues realizó la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones.
Nacido el 31 de marzo de 1596 en La Haye, hoy Descartes, era hijo de un miembro de la baja nobleza y perte- necía a una familia que había dado algu-nos hombres doctos.
En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases de filosofía a la reina Cristina de Suecia. Falleció, en la capital sueca, el 11 de febrero de 1650.

Distancia entre dos puntos

El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

SEMANA DEL 13 AL 16 DE OCTUBRE
RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero.

Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos.

Las rectas perpendiculares también están en todos lados, no sólo en una gráfica en papel sino en el mundo real, desde el patrón de cruce en las calles a la intersección de las líneas coloreadas de una camisa a cuadros.

Explora las rectas en el diagrama interactivo siguiente.
o Haz clic y arrastra el punto en el deslizante “Ecuación” para elegir uno de 5 ejemplos de ecuaciones. La ecuación se grafica en azul.
o Luego, haz clic y arrastra el punto en la recta roja para hacerla paralela o perpendicular a la recta azul. (Asegúrate de mover lentamente el cursor.) ¡Cuando las rectas son paralelas o perpendiculares, aparecerá un texto para avisarte que ya le atinaste!
o Observa las pendientes de las dos rectas paralelas. ¿Qué es lo que notas? Observa las pendientes de las rectas perpendiculares. ¿Qué es lo que notas?
o Escoge otra ecuación e inténtalo de nuevo.
o Conforme intentas con otras ecuaciones, observa la relación entre las pendientes de rectas paralelas, y las pendientes de rectas perpendiculares. Al intentar con la última ecuación, ¿puedes predecir cuáles serán las pendientes de las rectas paralelas y perpendiculares?

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De la primera exploración, habrás notado lo siguiente.

Rectas Paralelas

Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:
o la misma pendiente
o distintas intersecciones en y

Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.

Ejemplo
Problema
Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4.

La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3.
Identifica la pendiente de la recta dada.
Respuesta
La pendiente de la recta paralela es −3.
Una recta paralela a la recta dada tiene la misma pendiente.

Ejemplo
Problema
Determina si las rectas y = 6x + 5 y y = 6x – 1 son paralelas.

La recta dada se escribe como y = mx + b con m = 6 para la primera recta y m = 6 para la segunda recta. La pendiente de ambas rectas es 6.
Identifica la pendiente de la recta dada.

La primera recta tiene una intersección en y en (0, 5), y la segunda recta tiene una intersección en y en (0, −1). No son la misma recta.
Observa b, el valor de y de la intersección en y, para ver si las rectas son la misma, en cuyo caso no decimos que son paralelas.
Respuesta
Las rectas son paralelas.
Las pendientes de las rectas son las mismas y tienen diferentes intersecciones en y, entonces no son la misma recta y son paralelas.

Rectas Perpendiculares
Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será porque las rectas son perpendiculares.

También puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, .

Ejemplo
Problema
Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6.

La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6. La pendiente es 2.
Identifica la pendiente de la recta dada.

Respuesta

La pendiente de la recta perpendicular es .
Para encontrar la pendiente de la recta perpendicular, encuentra el recíproco, , y luego encuentra el opuesto del recíproco .

Observa que el producto , lo que significa que las pendientes son perpendiculares.
En el caso donde una de las rectas es vertical, la pendiente de esa recta no está definida y no es posible calcular el producto de un número indefinido. Cuando una recta es vertical, la recta perpendicular a ella será horizontal, teniendo una pendiente de cero (m = 0).

Ejemplo
Problema
Determinar si las rectas y = −8x + 5 y son paralelas, perpendiculares, o ninguna.

Las rectas dadas están escritas en la forma y = mx + b, con m = −8 para la primera recta y m = para la segunda recta.
Identifica las pendientes de las rectas dadas.

−8 ≠ , entonces las rectas no so paralelas.
El recíproco opuesto de −8 es , entonces las rectas son perpendiculares.
Determina si las pendientes son la misma o si son recíprocas opuestas.
Respuesta
Las rectas son perpendiculares.
Las pendientes de las rectas son recíprocas opuestas, por lo que las rectas son perpendiculares.

¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares a la recta ?

A) y

B) y

C)

D) Todas las rectas son perpendiculares.

Mostrar/Ocultar Respuesta

Escribiendo Rectas Paralelas y Perpendiculares

Las relaciones entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares pueden usarse para escribir ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares.

Empecemos con un ejemplo de rectas paralelas.

Ejemplo
Problema
**Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).**

 x – y = 5
−y = −x + 5
y = x – 5
Reescribe, si es necesario, la recta que quieres que sea paralela de la forma
y = mx + b.

En la ecuación anterior, m = 1 y b = −5.
Como m = 1, la pendiente es 1.
Identifica la pendiente de la recta dada.

La pendiente de la recta paralela es 1.
Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente.

y = mx + b
1 = 1(−2) + b
Usa el método para escribir una ecuación a partir de la pendiente y un punto en la recta. Sustituye 1 por m, y el punto (−2, 1) por x y y.

1 = −2 + b
3 = b
Resuelve b.
Respuesta
y = x + 3
Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

Cuando trabajas con rectas perpendiculares, normalmente tendrás una de las rectas y un punto adicional.

Ejemplo
Problema
Escribir la ecuación de una recta que contenga el punto(1, 5) y sea perpendicular a la recta y = 2x – 6.

La recta dada se escribe en la forma y = mx + b, como m = 2 y b = -6. La pendiente es 2.
Identifica la pendiente de la recta con la que tu recta debe ser perpendicular.

La pendiente de la recta paralela es .
Para encontrar la pendiente de una recta perpendicular, encuentra el recíproco, , y luego su opuesto, .

Usando el método de escribir una ecuación a partir de su pendiente y un punto en la recta. Sustituye por m, y el punto (1, 5) por x y y.

Resuelve b.
Respuesta
Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

¿Cuál de la siguientes es la ecuación de una recta paralela a y = −2x – 14 y pasa por el punto (−3, 1)?

A) y = −2x + 1

B)

C)

D) y = −2x – 5

Mostrar/Ocultar Respuesta

Ejemplo
Problema
**Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a y = 4.**

y = 4
y = 0x + 4

Reescribe, si es necesario, la recta en la forma
y = mx + b.
Podrás haber notado sin hacerlo que y = 4 es una recta horizontal 4 unidades sobre el eje-x. Porque es horizontal, y sabes que la pendiente es cero.

En la ecuación anterior, m = 0 y b = 4.
Como m = 0, la pendiente es 0. Esta es una recta horizontal.
Identifica la pendiente de la recta dada.

La pendiente de la recta paralela también es 0.
Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente.

y = 10
Como la recta paralela será una recta horizontal, su forma es
y = una constante.
Escoge una constante para crear la recta paralela.
Respuesta
y = 10
Esta recta es paralela a y = 4 e intersecta el eje-y en (0, 10).

Sumario

Cuando rectas en un plano so paralelas (es decir, nunca se cruzan), tienen la misma pendiente. Cuando rectas son perpendiculares (es decir, se cruzan formando un ángulo de 90°), sus pendientes son recíprocas opuestas una de la otra. El producto de sus pendientes siempre será -1, excepto en el caso donde una de las rectas es vertical, porque su pendiente no está definida. Puedes usar estas relaciones para encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto en particular y que sea paralela o perpendicular a otra recta.

La ecuación de una recta es
El coeficiente $m$ es la pendiente y $n$ es la ordenada en el origen.
El valor de la pendiente, $m$ , es la causa de un mayor o menor crecimiento.

Ejemplo 1

La recta $y = 2 x + 1$ crece más rápido que $y = x + 1$ porque tiene una pendiente mayor:

El valor de la ordenada en el origen, $n$ , es la segunda coordenada del punto de corte de la recta con el eje Y.

Ejemplo 2

La recta $y = 2 x + 1$ corta al eje Y en $(0, 1)$ y la recta $y = x + 2$ lo hace en el punto $(0, 2)$ :

2. Paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan. Esto ocurre cuando las rectas tienen la misma pendiente.

Ejemplo 3

Las rectas $y = 2 x + 1$ e $y = 2 x - 1$ son paralelas. Observad que tienen la misma pendiente, $m = 2$ :

3. Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto (ángulo de 45°).
Esto ocurre cuando la pendiente de una de las rectas es el opuesto del inverso de la otra. Es decir, si la pendiente de una de las rectas es $m$ , la otra debe ser $- 1 / m$ .

Ejemplo 4

Las rectas $y = 3 x - 2$ e $y = - x / 3 + 1$ son perpendiculares:

4. Problemas resueltos

Problema 1

Determinar si las siguientes rectas son o no paralelas o perpendiculares:

Explicamos cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares atendiendo a su pendiente. Con ejemplos y problemas resueltos paso a paso. ESO. Secundaria. Geometría plana. Matemáticas.

Solución

La pendiente de la recta $y = 2 x - 3$ es $m_{1} = 2$ .

Podemos reescribir la segunda recta:

Explicamos cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares atendiendo a su pendiente. Con ejemplos y problemas resueltos paso a paso. ESO. Secundaria. Geometría plana. Matemáticas.

De este modo, vemos mejor que la pendiente es $m_{2} = - 1 / 2$ .

Las rectas son perpendiculares porque $m_{2} = - 1 / m_{1}$ .

Representación:

Explicamos cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares atendiendo a su pendiente. Con ejemplos y problemas resueltos paso a paso. ESO. Secundaria. Geometría plana. Matemáticas.

Problema 2

Determinar si las siguientes rectas son o no paralelas o perpendiculares:
Solución
La pendiente de la recta $y = 2 x - 5$ es $m = 2$ .
Observad que podemos escribir la segunda recta de otro modo:
De este modo, se observa que la pendiente de esta recta también es $m = 2$ . Por tanto, son rectas paralelas.
Representación:

Problema 3

Hallar la recta paralela a la recta $y = 2 x - 3$ y que pasa por el punto $(- 3, 1)$ .
Solución
La ecuación de una recta es
Como la recta que buscamos debe ser paralela a la recta $y = 2 x - 3$ , su pendiente debe ser la misma. Por tanto, $m = 2$ .
Podemos calcular $n$ sustituyendo las coordenadas del punto $(- 3, 1)$ en la ecuación de la recta:
Por tanto, la recta que buscamos es
Representación:

Problema 4

Hallar la recta perpendicular a la recta $y = 2 x - 3$ y que pasa por el punto $(- 2, 2)$ .
Solución
La ecuación de una recta es
Como la recta debe ser perpendicular a $y = 2 x - 3$ , su pendiente debe ser $m = - 1 / 2$ .
Calculamos $n$ sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación:
Por tanto, es la recta
Representación:

Problema 5

Determinar si las siguientes rectas son perpendiculares a la recta $y = 3 x + 3$ :
Solución
Reescribimos la primera ecuación:
Su pendiente es $m_{1} = - 1 / 3$ . Esta recta es perpendicular a $y = 3 x + 3$ .
Reescribimos la segunda ecuación:
Su pendiente es $m_{2} = 3$ . Esta recta es paralela a $y = 3 x + 3$ .
Representación:

SEMANA 28 DE SEPTIEMBRE AL 02 DE OCTUBRE

TRANSFORMAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA EN ECUACIÓN EXPLÍCITA

Ecuación explicita de la recta

La ecuación de la forma y=mx+b, es denominada ecuación explicita de la recta, en esta ecuación se toma la variable x como independiente, y la variable y se expresa en función de esta, es decir, para graficar una recta o obtener puntos que hagan parte de esta le asignamos un valor a x y hallamos el valor correspondiente en y. En esta ecuación m es la pendiente de la recta y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado termino independiente el cual gráficamente es el corte con el eje y.
En resumen la ecuación explicita de la recta está dada por:

En la determinación de la ecuación explicita de una recta se pueden presentar dos casos.

Caso 1

Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta
Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta basta reemplazar dichos valores en la ecuación punto-pendiente

Ecuación punto-pendiente
Conocida la pendiente y un punto de la recta.  La ecuación de la recta se halla como

Ejemplo 1
Determinar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A(-3,1) y cuya pendiente es m=3.
Solución
Dado que m=3 y  (x₁, y₁) = (-3,1) al reemplazar los valores conocidos en la ecuación punto-pendiente
Para Finalizar Llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b

Ejemplo 2
Hallar la ecuación explicita  de la recta que pasa por el punto A(4,-2) y cuya pendiente es m = -2. Realizar la gráfica.
Solución
Identificamos las variables conocidas
m=-2    y  (x₁, y₁) = (4,-2),   es decir x₁=4  y  y₁=-2
Reemplazamos estos valores en la ecuación punto-pendiente

Finalmente llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b

Para recordar: Cuando tenemos una recta en la forma explícita se determinan dos variables automáticamente, la pendiente m y el corte con el eje y  es decir la coordenada (0,b).

En la ecuación de la recta  y = -2x+6, al compararla con la ecuación explicita de la recta  y=mx+b identificamos que la pendiente de esta recta es m=-2, y que  el corte con el eje y ocurre en la coordenada (0,b), es decir (0,6).

El punto (3,0) o punto de corte de la recta con el eje x, se determinó a partir de la ecuación de la recta y=-2x+6, haciendo y=0 y despejando x, es decir:

El resumen de los puntos que se graficaron se presentan en la siguiente tabla de valores

x 0 3
y 6 0

Caso 2

se conocen dos puntos que pertenecen a la recta.

Cuando se conocen dos puntos diferentes que pertenecen a la recta, primero se halla la pendiente de dicha recta mediante la expresion:

Luego se procede como en el caso 1, es decir se reemplaza m y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la ecuación punto-pendiente
Ejemplo 3
Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,5) y graficarla.
1.    Solución
1. Identificamos las coordenadas  (x₁, y₁) = (1,2)    y    (x₂, y₂)= (3,5)
Es decir:
x₁=1 ,   y₁ = 2    y    x₂=3,  y₂=5

2.  Calculamos la pendiente de la recta.

3.  Reemplazamos la pendiente y uno de los puntos en la ecuación punto-pendiente

Con el punto A(1,2)

Lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla de valores, para proceder a construir la gráfica.

Taller

1. indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las siguientes rectas

2. Encontrar la ecuación explicita de la recta que tiene el punto y la pendiente indicados.
a.   Punto (1,4)       pendiente 2                           b.   Punto (2,3)    pendiente  -3
c.   Punto (5,3)       pendiente 0                           b.   Punto (-1,2)    pendiente  -2

3. Escribir las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la gráfica de cada recta. Luego, encontrar la ecuación explicita de la recta
a.

b.

4. Escribir V en cada afirmación si es verdadera, o F si es falsa. Justificar la respuesta.
a. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(6,-3) y B(-2,3) es y=x+2.
b. La ecuación de una recta cuya pendiente es indefinida es x=3.
c. La ecuación de la recta y=3x+2, tiene pendiente 3.
d. La ecuación de la recta y=3x+2, corta el eje y en -2.
e. La ecuación de la recta y=2x-5, corresponde a una recta con pendiente negativa.

¿Cuál es la ecuación de la recta en forma explícita?

La ecuación explícita de la recta es de la forma

${y=mx+b}$

donde ${m}$ es la pendiente y ${b}$ la ordenada a origen.

Forma explícita de la recta a partir de la ecuación general

Si en la ecuación general de la recta

${Ax+By+C=0}$

despejamos ${y}$ , se obtiene la ecuación explícita de la recta

${y=-\displaystyle\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}}$

Hacemos

${m=-\displaystyle\frac{A}{B}, \ \ \ b=-\frac{C}{B}}$

y obtenemos

${y=mx+b}$

Ejemplo de ejercicios con la forma explícita de la recta

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por ${(1,5)}$ y tiene como pendiente ${m=-2}$ .

1Sabemos que la pendiente es igual al cociente ${-\displaystyle\frac{A}{B}}$ , por lo que tenemos

${-2=-\displaystyle\frac{A}{B} \ \ \Longrightarrow \ \ A=2B}$

2Sustituimos el punto ${(1,5)}$ en la ecuación general de la recta, el valor de ${A}$ en términos de ${B}$ y obtenemos

${A+5B+C=0 \ \ \Longrightarrow \ \ 2B+5B+C=0 \ \ \Longrightarrow \ \ 7B+C=0}$

3Despejamos ${C}$ en términos de ${B}$ y obtenemos

${7B+C=0 \ \ \Longrightarrow \ \ C=-7B}$

4Sustituimos los valores de ${A}$ y ${C}$ en la ecuación general de la recta y factorizamos el término común

${2Bx+By-7B=0 \ \ \Longrightarrow \ \ B(2x+y-7)=0}$

5Como ${B\neq 0}$ , dividimos ambos términos de la ecuación entre ${B}$

${\displaystyle\frac{B(2x+y-7)}{B}=\frac{0}{B} \ \ \Longrightarrow \ \ 2x+y-7=0}$

6Despejamos ${y}$ y obtenemos la ecuación explícita de la recta

${y=-2x+7}$

Forma explícita de la recta a partir de la ecuación punto-pendiente

Si en la ecuación punto-pendiente de la recta

${y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

despejamos ${y}$ , se obtiene la ecuación explícita de la recta

${y=mx-mx_{1}+y_{1}$

Hacemos

${b=-mx_{1}+y_{1}}$

y obtenemos

${y=mx+b}$
Ejemplo:

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por ${(1,5)}$ y tiene como pendiente ${m=-2}$ .

1Sustituimos el punto y la pendiente en la ecuación punto-pendiente de la recta y obtenemos

${y-5=-2(x-1)}$

2Despejamos ${y}$ y obtenemos la ecuación explícita de la recta

${y=-2x+7}$

SEMANA 21 AL 25 DE SEPTIEMBRE
ECUACIONES DE UNA RECTA

REPASO

Ecuación de la recta

(Segundo medio)
Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano .
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano ).
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta .
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado .
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.
1.– Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) .
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales ( ); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto ( 7, 2 ) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y ) satisface la ecuación y = x – 5 , ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce , que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto ( x, y ), la pendiente ( m ) y el punto de intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n , esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ordenadas (y) .
Respecto a esto, en el gráfico de arriba, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y 1 = m(x − x 1 )

y – b = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7) .
Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.