MATEMÁTICA 11°

SEMANA DEL 03 AL 06 DE NOVIEMBRE

CÁLCULO DEL RADIO PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación de una circunferencia centrada en el origen.

Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas C(0,0) es posible sustituir las coordenadas de este punto en su ecuación de tal forma que:

(x−0)2+(y−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√=r ⇒x2+y2=r2

Circunferencia centrada en el origen

En la figura se muestra una circunferencia centrada en el origen. Puedes observar que su radio es 4 por lo que su ecuación es:

x2+y2=42

La ecuación de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tiene la forma:

x2+y2=r2

donde r es el radio de dicha corcunferencia.

Ecuación de una circunferencia que pasa por el origen.

Cuando una circunferencia de ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 pasa por el origen de coordenadas se cumple que:

02+02+m⋅0+n⋅0+p=0 ⇒p=0

Circunferencia que pasa por el origen

En la figura se muestra una circunferencia centrada en (3,3) que pasa por el origen de coordenadas. Observa que su ecuación, al igual que todas las circunferencias que cortan al origen, no posee coeficiente p:

x2+y2−6x−6y=0

La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) que pasa por el origen de coordenadas tiene la forma:

x2+y2+mx+ny=0

donde:

• m=−2a
• n=−2b

SEMANA DEL 26 AL 30 DE OCTUBRE

TRANSFORMACIÓN ECUACIÓN GENERAL A ORDINARIA

Una recta se puede representar de 2 formas distintas, estas 2 ecuaciones se llaman “ecuación general” y “ecuación ordinaria”, que a esta se le conoce también de otras formas como “explicita”, “punto pendiente” o “punto - ordenada” pero es la misma ecuación solo que con diferente nombre

Ecuación general: esta tiene la forma ax + by + c = 0, y se caracteriza por tener todas las variables y números en un mismo lado y estas están igualadas a “0”.

Ecuación ordinaria: tiene la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el punto de corte con el eje “y”. esta es la más común de utilizar, sobre todo en funciones y otras ramas relacionadas, esto en parte es porque al usar la ecuación punto-pendiente es más fácil de graficar, porque en la propia ecuación se puede ver la pendiente y el punto de corte con el eje “y”, por estos y otros motivos la ecuación ordinaria es la que tiene mayor uso.

Pero que pasa si se tiene una recta o función lineal y se quiere pasar a la otra forma, los conceptos y procesos para pasar de la ecuación general a la ordinaria y viceversa son relativamente sencillos, para demostrarlos se resolverá un ejemplo de cada situación y al final de este artículo habrá más ejemplos de cada uno.

De general a ordinaria

Como se explica en los párrafos anteriores, para pasar una ecuación general a su forma ordinaria esta debe tener la forma y=mx + b, por lo cual lo que se tiene que hacer es despejar por completo la variable “y” y pasar todos los demás términos al otro lado.

Algo que hay que tener en cuenta es que la “y” tiene que estar positiva por lo que si la “y” esta positiva entonces todos los términos se pasan al otro lado, en cambio, si la “y” es negativa, sería la “y” la que se tendría que pasar al otro lado para que esta quede positiva.

Ejemplo: pasar la ecuacion 12x + 3y - 9 = 0 a su forma ordinaria

• Primero se despeja el término que contiene a "y"
• 12x + 3y - 9 = 0
• 3y = -12x + 9
• Luego se quita el 3 pasandolo al otro lado a dividir por cada termino
• y = 
  -12x + 93
• y = 
  -12x3
   + 
  93
• Y se resuelven las divisiones
• y = -4x + 3

Ecuación de la elipse: conversión de la forma general a la forma ordinaria

Ejemplo

Convierte a la forma ordinaria la ecuación general de la elipse:

  

En este caso no se requiere de completar cuadrados. Basta con dividir ambos lados de la igualdad entre 4:

  

Y esta es la ecuación de la elipse, pero en forma ordinaria.

---

---

Ejemplo 2

Convierte a la forma ordinaria la ecuación general de la elipse:

  

Ahora si vamos a aplicar el método de completar cuadrados. Empezamos ordenando los términos: primero los que incluyen a  y después los que incluyen a :

  

Factorizamos el coeficiente del término principal de cada binomio:

Ahora vamos a sumar en ambos lados de la igualdad el término independiente que convierte a cada binomio en un trinomio cuadrado perfecto:

  

Al dividir ambos lados de la igualdad entre 64 obtenemos la ecuación en la forma ordinaria:

  

Ejemplo 3

Calcula todos los elementos de la elipse cuya ecuación es:

  

y grafícala.

Empezamos convirtiendo la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

  

Ahora solamente dividimos ambos lados de la igualdad entre 225 y obtenemos la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

  

A partir de esta ecuación es muy fácil darse cuenta que:

  

Además, la elipse es horizontal, porque  está en el denominador de la fracción que contiene a . Conociendo estos valores podemos enlistar todos los elementos de la elipse:

  

Y la gráfica de esta elipse es la siguiente:

Desde ecuación general a ecuación ordinaria

Hemos obtenido a partir de la ecuación ordinaria, la ecuación general de una circunferencia.

Pero dada una ecuación que tiene este aspecto:

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$

Si se la pasa a la forma de ecuación ordinaria: ¿siempre se obtendrá una circunferencia?

Para responder esto vamos a recordar cómo se completa cuadrados con un ejemplo.

Ejemplo

Vamos a completar cuadrados en la siguiente expresión:
$$x^2+y^2–4x+2y–1=0\left[1\right]$$

La pregunta es: ¿qué lugar geométrico representa esta ecuación? ¿Estamos seguros de que es una circunferencia? Tendremos que llevarla a la forma ordinaria.

La idea es transformar:

Y además:

Empecemos con $x^2–4x$

¿Qué le falta a esta expresión para ser un trinomio cuadrado perfecto? Falta el término independiente. Sabemos que el término independiente deberá ser la mitad de 4, elevado al cuadrado.

Entonces podemos sumar y restar $2^2$:

Ahora con la expresión para la variable $y$:

Reemplazamos en la $\left[1\right]$:

$${\left(x–2\right)}^2–4+{\left(y+1\right)}^2–1–1=0$$

Y ahora reordenamos para obtener la ecuación de la circunferencia:

$${\left(x–2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=6$$

¿Cuáles son el centro y el radio?

$$C=\left(2,–1\right)$$

$$r=\sqrt{6}$$

Ejercicio para el lector 1

Completando cuadrados, hallen el lugar geométrico correspondiente a cada una de las ecuaciones:
a)   $x^2+y^2+3x+4=0$

b)   $x^2+y^2+6x+9=0$

SEMANA DEL 19 AL 23 DE OCTUBRE

DADA LA ECUACIÓN ORDDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA CALCULAR SU ECUACIÓN GENERAL

Circunferencia

Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un compás.

Les resultará natural la siguiente definición:

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

$$Centro:C\left(\alpha ,\beta \right)$$

$$C=\left\{P\left(x,y\right)|d\left(P,C\right)=r;r>0\right\}$$

Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la expresión de una circunferencia.

Consideremos el siguiente esquema:

Por teorema de Pitágoras sabemos que los puntos $P\left(x,y\right)$ deben cumplir esta ecuación:

$${\left(x–\alpha \right)}^2+{\left(y–\beta \right)}^2=r^2$$

Que se llama ecuación ordinaria de la circunferencia con centro $C\left(\alpha ,\beta \right)$ y radio $r$.

Si $r=0$ , ¿qué objeto geométrico representa la ecuación?

Desde ecuación ordinaria hacia ecuación general

A partir de la ecuación ordinaria de la circunferencia, desarrollemos los cuadrados de binomio:

$${\left(x–\alpha \right)}^2+{\left(y–\beta \right)}^2=r^2\Rightarrow x^2–2\alpha x+{\alpha }^2+y^2–2\beta y+{\beta }^2=r^2$$

Y ahora reagrupemos los términos:

$$x^2+y^2–2\alpha x–2\beta y+\left({\alpha }^2+{\beta }^2–r^2\right)=0$$

Y renombremos las constantes:

Se obtiene la ecuación:

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$

llamada ecuación general de la circunferencia.

SEMANA DEL 13  AL 16 DE OCTUBRE

LA CIRCUNFERENCIA. ECUACION CANONICA

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro, a una distancia r.

Si tenemos un punto P(x,y) que forma parte de una circunferencia con centro C(h,k). La distancia de P a C la llamaremos radio (r).

Entonces el centro  y el radio determinan la ecuación de la circunferencia.

Si el centro de la circunferencia se encuentra en el origen de coordenadas C(0,0) tendremos como ecuación canónica de dicha circunferencia:

Si el centro de la circunferencia se encuentra en un punto C(h,k) diferente del origen de coordenadas, tendremos como ecuación canónica de dicha circunferencia:

Ejemplo práctico:

Encontrar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia dada por: 

Solución:

La ecuación corresponde a una circunferencia de centro (h,k).

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x-3)^2+(y+4)^2=25

Comparando las dos ecuaciones podemos deducir que

 y 

r=5

Ecuación Canónica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3²

Ecuación canónica de la circunferencia

Vamos a deducir la ecuación de la circunferencia.
Dibujamos una circunferencia de centro  y radio .
Dibujamos un punto cualquiera  de la circunferencia

En el triángulo rectángulo de la imagen aplicamos Pitágoras

Es la ecuación canónica (o reducida) de la circunferencia de centro (a,b) y radio r

Otra forma de deducir la ecuación de la circunferencia es mediante distancias:

 

SEMANA DEL 28 DE SEPTIEMBRE

  AL 02 DE OCTUBRE 

LA PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN. ECUACIONES

Parabola Con Vertice Fuera Del Origen

ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, k) Consideramos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con un eje coordenado. En la Fig. C, el vértice está en (h, k) y el foco está en (h+a, k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta el punto ( h, k). Puesto que la distancia del vértice al foco es a, tenemos de inmediato la ecuación y'2 = 4ax' Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación, y obtenemos así ( y -k)2 = 4a (x -h) En esta ecuación observamos, y también en la figura, que cuando a > 0, el factor x -h del segundo miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacía la derecha. Para a < 0, el factor x -h debe ser menor o igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola está sobre la recta y -k = 0. La longitud del latus rectum es igual al valor absoluto de 4a, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos.  Figura E Se puede hacer una discusión semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Consecuentemente, establecemos la siguiente. La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h +a,k) es (y - k)2 = 4ª (x - h) La parábola abre hacia la derecha si a > 0 y abre hacia la izquierda si a < 0. La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h, k + a) es (x - h)2 = 4ª (y - k) La parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a <0. Cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) está en la forma estándar. Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precedente. Si la ecuación de una parábola está en la forma estándar, rápidamente se puede trazar su gráfica. El vértice y los extremos del latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuantos puntos adicionales ayudaría, por supuesto, a mejorar la precisión. Notamos Que cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar más vívidamente si efectuamos la elevación al cuadrado y trasponemos los términos para obtener las formas generales x2 + Dx +Ey +F = 0 y2 + Dx +Ey +F = 0 Inversamente, una ecuación de la forma (2.3) o (2.4) se puede presentar en una forma estándar, siempre y cuando E ¹ 0 en (2.3) y D ¹ 0 en (2.4). 2.3.1 EJEMPLOS EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la ecuación y2 + 8x - 6y + 25 = 0 Solución. La ecuación representa una parábola porque y está elevada al cuadrado y x a la primera potencia. La gráfica se puede trazar más rápidamente si primero reducimos la ecuación a una forma estándar. Así, y2 - 6y + 9 = -8x - 25 + 9 (y - 3)2 = -8 ( x + 2) Figura F El vértice está en (-2, 3) puesto que 4ª=-8 y a= -2, el foco está a dos unidades a la izquierda del vértice. La longitud del latus rectum, igual al valor absoluto de 4ª, es 8. Por eso el latus rectum se extiende cuatro unidades arriba y abajo del foco. La gráfica está trazada en la Figura F EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la ecuación x2 - 6x - 12y - 51 = 0 Solución. La ecuación dada representa una parábola donde x aparece al cuadrado y y a la primera potencia. Primero expresamos la ecuación en forma estándar. x2 - 6x +9 = 12y -51 + 9 (x - 3)2 = 12 ( y + 5) Figura G E vértice está en (3, 5). Puesto que 4ª = 12, a= 3. De manera que el foco está 3 unidades arriba del vértice, o sea, en (3, -2). La longitud del latus rectum es 12, y esto hace que las coordenadas de sus extremos sean ( -3, -2) y (9, -2).

Las parábolas se caracterizan por tener un vértice, un foco, una directriz, una ecuación del eje, el lado recto, la concavidad (hacía donde abre), y finalmente la ecuación ordinaria, todo varía dependiendo del tipo de parábola que tengamos, puede ser una parábola horizontal o una parábola vertical.

🔹 Parábola Horizontal con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica

Vemos que se trata de una parábola horizontal, y que su vértice está fuera del origen. Su eje es paralelo al eje “X” y es cóncava hacia la derecha o izquierda, según sea el caso.

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.

1️⃣ Vértice:

2️⃣ Foco:

3️⃣ Directriz:

4️⃣ Lado Recto:

5️⃣ Ecuación del eje:

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la derecha.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la izquierda.

🔹 Parábola Vertical con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica:

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.

1️⃣ Vértice:

2️⃣ Foco:

3️⃣ Directriz:

4️⃣ Lado Recto:

5️⃣ Ecuación del eje:

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia arriba.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia abajo.

Ejercicios Resueltos de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Veamos algunos ejemplos resueltos para la parábola con vértice fuera del origen.

Ejemplo 1. Determina la ecuación general de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-5, 2) y (-1, 2) respectivamente. 

Solución:

Si graficamos los dos puntos que nos dan como referencia, que es el vértice y foco podremos saber hacía donde abrirá nuestra parábola, e incluso el tipo de ecuación que usará. Veamos:

Al ver la imagen sabemos que se trata de una parábola que abre hacia la derecha, y que tiene su eje paralelo al eje “x”.  Por lo que la ecuación de dicha parábola tendrá la siguiente forma:

Si el vértice tiene coordenadas (-5 ,2)

Entonces:

h = -5

k = 2

El foco tiene coordenadas ( -1 , 2), la distancia que hay desde el vértice al foco es de 4 unidades, lo podemos medir gráficamente o lo podemos calcular mediante su fórmula, veamos:

Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Después de analizar el caso de la parábola con vértice en el origen, ahora toca el estudio de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen, que es prácticamente muy sencillo si le entendemos desde el comienzo. Así que veamos como resolver este tipo de problemas, pero primero comprendamos como está estructurado los elementos de la parábola.

Elementos y Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Las parábolas se caracterizan por tener un vértice, un foco, una directriz, una ecuación del eje, el lado recto, la concavidad (hacía donde abre), y finalmente la ecuación ordinaria, todo varía dependiendo del tipo de parábola que tengamos, puede ser una parábola horizontal o una parábola vertical.

🔹 Parábola Horizontal con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica

Vemos que se trata de una parábola horizontal, y que su vértice está fuera del origen. Su eje es paralelo al eje “X” y es cóncava hacia la derecha o izquierda, según sea el caso.

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.

1️⃣ Vértice:

2️⃣ Foco:

3️⃣ Directriz:

4️⃣ Lado Recto:

5️⃣ Ecuación del eje:

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la derecha.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la izquierda.

🔹 Parábola Vertical con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica:

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.

1️⃣ Vértice:

2️⃣ Foco:

3️⃣ Directriz:

4️⃣ Lado Recto:

5️⃣ Ecuación del eje:

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia arriba.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia abajo.

Ejercicios Resueltos de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Veamos algunos ejemplos resueltos para la parábola con vértice fuera del origen.

Ejemplo 1. Determina la ecuación general de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-5, 2) y (-1, 2) respectivamente. 

Solución:

Si graficamos los dos puntos que nos dan como referencia, que es el vértice y foco podremos saber hacía donde abrirá nuestra parábola, e incluso el tipo de ecuación que usará. Veamos:

Al ver la imagen sabemos que se trata de una parábola que abre hacia la derecha, y que tiene su eje paralelo al eje “x”.  Por lo que la ecuación de dicha parábola tendrá la siguiente forma:

Si el vértice tiene coordenadas (-5 ,2)

Entonces:

h = -5

k = 2

El foco tiene coordenadas ( -1 , 2), la distancia que hay desde el vértice al foco es de 4 unidades, lo podemos medir gráficamente o lo podemos calcular mediante su fórmula, veamos:

Si sabemos que:

Pero también sabemos que h = -5

Despejando a “p”

Por lo que

p = 4

Ahora, sustituimos nuestros datos en la fórmula:

Resolviendo las operaciones básicas

Igualamos la ecuación a cero

Ordenando y reduciendo:

 Resultado:

Veamos la gráfica de nuestra parábola:

Ejemplo 2. Determina los elementos de la parábola (vértice, foco, directriz, eje y lado recto) y grafica x² -2x -16y + 81 = 0

Solución:

Al observar la ecuación de la parábola, podemos darnos cuenta que el término cuadrático lo posee “y”, entonces se trata de una parábola horizontal, para comenzar a resolver este tipo de problemas, agrupamos los términos con “y” en el primer miembro de la igualdad.

Paso 1: Se completa el trinomio al cuadrado perfecto en el primer miembro, y después se factoriza.

Paso 2: Se factoriza el segundo miembro de la igualdad, tomando como factor común a 16

La ecuación que se obtiene es de la forma: (y-k)²=4p (x-h)

Donde:

h = 1

k = 5

p = 4

¿Por qué p = 4?

Encontrando los elementos de la parábola.

a) Obteniendo el Vértice de la Parábola

Para el vértice, debemos aplicar la fórmula V(h,k)

b) Obteniendo el foco

c) Obteniendo la directriz

d) Obteniendo el Lado Recto

e) Obteniendo la ecuación del eje

f) Obtener la gráfica de la parábola

SEMANA DEL 21  AL 25 SEPTIEMBRE

LA PARÁBOLA

REPASO

Definición

La parábola es la curva que se obtiene como resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz sus elementos fundamentales se muestran a en la imagen.

El punto F se denomina foco y la recta d es la directriz de la parábola.

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola.

En la figura de arriba el eje de la parábola coincide con el eje Y. El punto en el que el eje corta a la parábola recibe el nombre de vértice V y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima.

La distancia entre el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal.

Propiedades

• Es una curva abierta, consiste en dos arcos de curva (ramas) sin puntos comunes que se prolongan ilimitadamente.
• Tiene dos ejes de simetría perpendiculares; por tanto es centralmente simétrica y tiene un centro.
• Un eje de simetría no contiene puntos de la curva

Ecuación

La ecuación de una parábola es y - y0 = a (x - x0)2. Esta ecuación es la parábola con eje vertical y cuyo vértice es (x0, y0).

Puntos de corte

Los puntos de corte de la parábola con el eje de las abscisas, si los hay, son los que tienen por segunda coordenada y = 0 y la primeras coordenadas son las soluciones de la ecuación de segundo grado a (x - x0)2 + y0 = 0 (obtenida al exigir la condición y = 0).

El punto de corte con el eje de las ordenadas, hay sólo uno, es el que tiene la primera coordenada x = 0 y la segunda coordenada y = a·x02 + y0 (obtenida al exigir y = 0).

Aplicaciones

La parábola encuentra su aplicación en muchas ramas de las Ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Es empleada también en la construcción de antenas satelitales aprovechando el principio de que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco al igual que los radiotelescopios que también se basan en la concentración de las señales recibidas.

La concentración de la radiación solar en un punto mediante un reflector parabólico es empleado en las cocinas solares.

A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.

A continuación presentamos un resumen de lo más importante que necesitas saber sobre las parábolas.

 

Ecuación canónica u ordinaria:

 

1 

 

Abre hacia la derecha
Foco  
Directriz  

 

2  

 

Abre hacia la izquierda
Foco  
Directriz  

 

3  

 

Abre hacia arriba
Foco  
Directriz  

 

4 

 

Abre hacia abajo
Foco  
Directriz  

 

El vértice de la parábola es el punto .

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

 

1 

 

Abre hacia la derecha
Foco  
Directriz  

 

2 

 

Abre hacia la izquierda
Foco  
Directriz  

 

3 

 

Abre hacia arriba
Foco  
Directriz  

 

4 

 

Abre hacia abajo
Foco  
Directriz  

 

 representa la medida del lado recto o LR.
 es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.

A continuación presentamos un resumen de lo más importante que necesitas saber sobre las parábolas.

 

Ecuación canónica u ordinaria:

 

1 

 

Abre hacia la derecha
Foco  
Directriz  

 

2  

 

Abre hacia la izquierda
Foco  
Directriz  

 

3  

 

Abre hacia arriba
Foco  
Directriz  

 

4 

 

Abre hacia abajo
Foco  
Directriz  

 

El vértice de la parábola es el punto .

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

 

1 

 

Abre hacia la derecha
Foco  
Directriz  

 

2 

 

Abre hacia la izquierda
Foco  
Directriz  

 

3 

 

Abre hacia arriba
Foco  
Directriz  

 

4 

 

Abre hacia abajo
Foco  
Directriz  

 

 representa la medida del lado recto o LR.
 es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

 

La forma de proceder nuevamente será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro , y con ello las coordenadas del foco y del vértice.

 

1 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

 

2 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

 

3 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

• De directriz , de foco .
• De directriz , de foco .
• De directriz , de foco .
• De directriz , de vértice .

•  

  1 De directriz , de foco .

   

  Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen.

  Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas , concluimos que

  .

  La ecuación es

  

   

  

   

  2 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

   

  Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia arriba y su vértice es el origen.

  Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas , concluimos que

  .

  Sustituimos en la ecuación:

  

   

  

   

  3 De directriz , de foco .

   

  Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la izquierda y su vértice es el origen.

  El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas , esto significa que

  

  Sustituimos en la ecuación:

  

   

  

   

  4 De directriz , de vértice .

   

  Al localizar la directriz y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia abajo y su vértice es el origen.

  Para estas parábolas la ecuación de la directriz es . Entonces

  

  La ecuación es de la forma:

  

   

  

   

SEMANA DEL 04  AL 11 SEPTIEMBRE

LA PARÁBOLA

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.

El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:

Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $x^2+2xy+y^2+2x–2y=0$, obtendríamos la siguiente gráfica:

Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar autovalores y autovectores. (Esto lo veremos más adelante en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización)

Definición de parábola

Dados un punto $F$ (foco) y una recta $r$ (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.

Simbólicamente:

$$P=\left\{P\left(x,y\right)|d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)\right\}$$

Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).

El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son $V\left(0,0\right)$, las del foco $F\left(c,0\right)$ y la recta directriz está dada por $r:x=–c$. Las coordenadas de un punto genérico $Q$ que pertenece a la directriz son $\left(–c,y\right)$.

Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:

$$d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)$$

 

Distancia entre un punto P y la directriz:

Distancia entre un punto P y el foco:

Las igualamos según lo establece la definición:

 

Donde los vectores y sus módulos son:

$$\overrightarrow{PQ}=\left(–c–x,0\right)$$

$$\overrightarrow{PF}=\left(c–x,–y\right)$$

Ahora sustituyendo y operando llegamos a:

$$\sqrt{c^2+2cx+x^2}=\sqrt{c^2–2cx+x^2+y^2}$$

$$c^2+2cx+x^2=c^2–2cx+x^2+y^2$$

$$y^2=4cx\left(c\ne 0\right)$$

Que es la ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$ y eje focal $y=0$ (eje $x$).

Donde si,

$c>0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha

$c<0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda

Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola vertical:

$$x^2=4cy$$

Ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$ y eje focal $x=0$ (eje $y$).

Donde si,

$c>0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba

$c<0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo

Coordenadas del foco: $F\left(0,c\right)$

Ecuación de la directriz $d:y=–c$

Ecuación ordinaria de la parábola

Consideremos una parábola cuyo vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ no coincide con el origen del sistema $xy$ :

¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia $xy$? No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con $V$, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:

$$y^{\prime 2}=4c{x}^{\prime }$$

Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema $xy$

¿Qué coordenadas tiene el punto $P$ respecto de cada sistema?

El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:

• Coordenadas de P en sistema $x^{\prime }{y}^{\prime }$
• Coordenadas de P en sistema $xy$

La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:

$$x^{\prime }+\alpha =x$$

$$y^{\prime }+\beta =y$$

O reordenando:

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x–\alpha \\ y^{\prime }=y–\beta \end{array}$$

Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.

Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión $y^{‘2}=4c{x}^{\prime }$ obtenemos la ecuación en el sistema original:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ y eje focal paralelo al eje $x$.

Análogamente:

$${\left(x–\alpha \right)}^2=4c\left(y–\beta \right)$$

Es la ecuación de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ y eje focal paralelo al eje $y$.

¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:

• Si $y$ está al cuadrado, entonces es horizontal.
• Si $x$ está al cuadrado, entonces es vertical.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola de directriz $x=4$ y foco $F\left(–2,0\right)$.

Resolución

Es conveniente realizar una figura de análisis que represente los datos del enunciado:

El valor absoluto de $c$ es la distancia del vértice al foco.

$$\left|c\right|=d\left(V,F\right)$$

El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la directriz:

$$V=\left(\frac{–2+4}{2},0\right)=\left(1,0\right)$$

Eje focal: eje $x$

Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

$${\left(y–0\right)}^2=4c\left(x–1\right)$$

Falta calcular el valor absoluto de $c$.

$$\left|c\right|=d\left(F,V\right)=3$$

Como el foco está a la izquierda del vértice entonces $c=–3$.

Entonces queda:

$$y^2=–12\left(x–1\right)$$

Lado recto

El lado recto es la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la longitud del lado recto es $\left|4c\right|$

 $$\left|L{L}^{\prime }\right|=\left|4c\right|$$

Dejamos la demostración a cargo del lector interesado.

De ecuación ordinaria a ecuación general

Partimos de la ecuación ordinaria:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Desarrollamos cuadrado de binomio:

$$y^2–2\beta y+{\beta }^2=4cx–4c\alpha$$

$$y^2–4cx–2\beta y+{\beta }^2+4c\alpha =0$$

Renombramos los coeficientes de la ecuación así:

$$y^2+Dx+Ey+F=0$$

Ésta es la ecuación general. Observen que hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.

Les proponemos las siguientes preguntas:

• Si $E=0$, ¿dónde está ubicado el vértice?
• ¿Cuál es la ecuación general de una parábola de eje vertical?

Ejemplo

Analizar qué lugar geométrico representa la siguiente ecuación:

$$y^2+4x–2y+2=0$$

¿Qué curva representan los puntos que verifican esta ecuación? Observando que una sola de las variables está elevada al cuadrado, podemos pensar en una parábola. Deberíamos llegar al siguiente modelo:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Primero hay que completar cuadrados en y

$$y^2–2y+1^2–1^2={\left(y–1\right)}^2–1$$

Entonces

$${\left(y–1\right)}^2–1+4x+2=0$$

$${\left(y–1\right)}^2=–4x–1$$

$${\left(y–1\right)}^2=–4\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola que tiene $V\left(–\frac{1}{4},1\right)$ y eje focal paralelo al eje $x$.

SEMANA DEL 31 DE AGOSTO AL 04 SEPTIEMBRE

RECTAS  PERPENDICULARES

Rectas Perpendiculares

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

Definiciones de Rectas Perpendiculares

• Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º.
• Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
• Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta.

Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es decir el producto de los vectores es igual a cero

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
• Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
• Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.

Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.

Si dos rectas al cortarse forman Ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

DEFINICIÓN.- Un triángulo Rectángulo es un Triángulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.

DEFINICIÓN.- Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Ejemplos

Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por el punto A(3,5).

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 3x - 2y - 1 = 0, que pasa por el punto A(-2, -3).

Sean las rectas r ≡ 3x + 5y - 13 = 0 y s ≡ 4x - 3y + 2 = 0. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y es perpendicular a la recta t ≡ 5x - 8y + 12 = 0

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean perpendiculares.

SEMANA 24  AL 29 DE AGOSTO 

GEOMETRÍA ANALÍTICA

RECTAS  PERPENDICULARES

Rectas Perpendiculares

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

Definiciones de Rectas Perpendiculares

• Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º.
• Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
• Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta.

Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es decir el producto de los vectores es igual a cero

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
• Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
• Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.

Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.

Si dos rectas al cortarse forman Ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

DEFINICIÓN.- Un triángulo Rectángulo es un Triángulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.

DEFINICIÓN.- Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Ejemplos

Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por el punto A(3,5).

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 3x - 2y - 1 = 0, que pasa por el punto A(-2, -3).

Sean las rectas r ≡ 3x + 5y - 13 = 0 y s ≡ 4x - 3y + 2 = 0. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y es perpendicular a la recta t ≡ 5x - 8y + 12 = 0

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean perpendiculares.

SEMANA 17  AL 21 DE AGOSTO 

GEOMETRÍA ANALÍTICA

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Rectas paralelas

 

Observa la siguiente figura con dos rectas paralelas. Si las rectas  y  son paralelas, entonces escribimos .

 

 

Según los vectores directores: Dos rectas son paralelas si el vector director de una es el vector director de la segunda, multiplicado por un número . Es decir,

 

 

De esta manera, si  y , entonces las rectas serán paralelas si

 

 

Esta es una forma de determinar si dos rectas son paralelas a partir de sus vectores directores.

 

Según la pendiente de las rectas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir,

 

 

Como la pendiente de una recta  se calcula mediante , entonces dos rectas

 

    

 

Serán paralelas si se cumple que,

 

 

Es decir, —después de cancelar el signo—,

 

 

La cual es la manera de determinar que dos rectas son paralelas a partir de su ecuación general.

Rectas perpendiculares

 

Ahora observa las siguientes rectas perpendiculares. Las rectas perpendiculares forman un ángulo de  entre ellas. Asimismo, si  y  son perpendiculares, entonces escribimos .

 

 

Según los vectores directores: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares:

 

 

El cual representa el producto interior de  y .

 

Según la pendiente de las rectas: Por otro lado, si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a . Es decir,

 

Lo cual es equivalente a que

 

 

Es decir,

 

 

Esta es una manera de determinar que dos rectas son perpendiculares.

 

Ejemplos de problemas con rectas paralelas y perpendiculares

 

1 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a , que pasen por el punto .

 

Solución: Primero determinaremos la recta paralela . Se debe tener que

 

 

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de  está dada por

 

 

Por lo que, al despejar para escribir en su forma normal tenemos

 

 

Ahora buscaremos la recta perpendicular . En este caso debemos tener que

 

 

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de  está dada por,

 

 

Al despejar, obtenemos,

 

 

2 Calcula el valor de  para que las rectas , y  sean paralelas. Asimiso, encuentra el valor de , pero ahora paras que las rectas sean perpendiculares.

 

Solución: Tenemos que las pendientes de las rectas son

 

 

De este modo, si queremos que las rectas sean paralelas, debemos tener que

 

 

Que al despejar, obtenemos

 

 

Por otro lado, si deseamos que las rectas sean perpendiculares, entonces,

 

 

Es decir,

 

 

Que al despejar, tenemos que

 

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

SEMANA 10  AL 14 DE AGOSTO 

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Ecuación explicita de la recta

La ecuación de la forma y=mx+b, es denominada ecuación explicita de la recta, en esta ecuación se toma la variable x como independiente, y la variable y se expresa en función de esta, es decir, para graficar una recta o obtener puntos que hagan parte de esta le asignamos un valor a x y hallamos el valor correspondiente en y. En esta ecuación m es la pendiente de la recta  y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado termino independiente el cual gráficamente es el corte con el eje y. En resumen la ecuación explicita de la recta está dada por: En la determinación de la ecuación explicita de una recta se pueden presentar dos casos. Caso 1 Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta basta reemplazar dichos valores en la ecuación punto-pendiente   Ecuación punto-pendiente Conocida la pendiente y un punto de la recta.  La ecuación de la recta se halla como Ejemplo 1 Determinar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A(-3,1) y cuya pendiente es m=3. Solución Dado que m=3 y  (x1, y1) = (-3,1) al reemplazar los valores conocidos en la ecuación punto-pendiente Para Finalizar Llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b Ejemplo 2 Hallar la ecuación explicita  de la recta que pasa por el punto A(4,-2) y cuya pendiente es m = -2.  Realizar la gráfica. Solución Identificamos las variables conocidas  m=-2    y  (x1, y1) = (4,-2),   es decir x1=4  y  y1=-2 Reemplazamos estos valores en la ecuación punto-pendiente Finalmente llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b Para recordar: Cuando tenemos una recta en la forma explícita se determinan dos variables automáticamente, la pendiente m y el corte con el eje y  es decir la coordenada (0,b).   En la ecuación de la recta  y = -2x+6, al compararla con la ecuación explicita de la recta  y=mx+b identificamos que la pendiente de esta recta es m=-2, y que  el corte con el eje y ocurre en la coordenada (0,b), es decir (0,6). El punto (3,0) o punto de corte de la recta con el eje x, se determinó a partir de la ecuación de la recta y=-2x+6, haciendo y=0 y despejando x, es decir: El resumen de los puntos que se graficaron se presentan en la siguiente tabla de valores  x  0  3  y  6  0 Caso 2  se conocen dos puntos que pertenecen a la recta. Cuando se conocen dos puntos diferentes que pertenecen a la recta, primero se halla la pendiente de dicha recta mediante la expresion: Luego se procede como en el caso 1, es decir se reemplaza m y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la ecuación punto-pendiente Ejemplo 3 Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,5) y graficarla. 1.    Solución 1. Identificamos las coordenadas  (x1, y1) = (1,2)    y    (x2, y2)= (3,5) Es decir:  x1=1 ,   y1 = 2    y    x2=3,  y2=5 2.  Calculamos la pendiente de la recta. 3.  Reemplazamos la pendiente y uno de los puntos en la ecuación punto-pendiente Con el punto A(1,2) Lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla de valores, para proceder a construir la gráfica. Taller 1. indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las siguientes rectas 2. Encontrar la ecuación explicita de la recta que tiene el punto y la pendiente indicados. a.   Punto (1,4)       pendiente 2                           b.   Punto (2,3)    pendiente  -3 c.   Punto (5,3)       pendiente 0                           b.   Punto (-1,2)    pendiente  -2 3. Escribir las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la gráfica de cada recta. Luego, encontrar la ecuación explicita de la recta a. b. 4. Escribir V en cada afirmación si es verdadera, o F  si es falsa. Justificar la respuesta. a. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(6,-3) y B(-2,3) es y=x+2. b. La ecuación de una recta cuya pendiente es indefinida es x=3. c. La ecuación de la recta y=3x+2, tiene pendiente 3. d. La ecuación de la recta y=3x+2, corta el eje y en -2. e. La ecuación de la recta y=2x-5, corresponde a una recta con pendiente negativa.

SEMANA 03  AL 07 DE AGOSTO 

ECUACIÓN: DOS PUNTOS EN LA RECTA

 

 

 

¿Cómo encontramos la ecuación de la recta conociendo dos puntos?

 

Sean los puntos    y    que determinan una recta  .

 

Un vector director de la recta es:

 

 

Cuyas componentes son:

 

            y               

 

Sustituyendo estos valores en la forma continua:

 

 

Podemos encontrar la ecuación de la recta.

 

Hallar la ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos 

Hallar la ecuación de la recta que pasa por

 

   y  

 

Sustituimos los valores en la forma continua:

 

 

Entonces, la ecuación de la recta es:

 

 

 

Conociendo la ecuación de la recta, hallar 2 puntos en ella

 

Cuando conocemos la ecuación de una recta es muy sencillo encontrar puntos que pertenecen a ella, recordemos que la ecuación de la recta puede escribirse de distintas formas: general, paramétrica, o punto-pendiente por ejemplo.

 

Para encontrar puntos en la recta, lo mas recomendable es usar la forma punto-pendiente y hacer una tabulación (tabla de valores) donde encontramos muchas coordenadas (puntos) que pertenecen a la recta

 

 

Ejemplo:

 

Sea la ecuación general de la recta :  

Podemos escribirla en su forma punto-pendiente (despejando y) : 

Ahora podemos asignar cualquier valor a , y obtener el valor correspondiente a y como se muestra en la tabla a continuación:

 

Mostrar 102550100 registros

Buscar:

Valores que asignamos a x	Ecuación punto- pendiente	Valor obtenido para y	Coordenada (punto) que pertenece a la recta
x	y=-8x+11	y	(x,y)
2	y=-8(2)+11 y=-16+11 y=-5	-5	(2,-5)
0	y=-8(0)+11 y=0+11 y=11	11	(0,11)
-3	y=-8(-3)+11 y=24+11 y=35	35	(-3,35)

Mostrando desde 1 hasta 4 de 4 registros

AnteriorSiguiente

 

Otra forma sencilla de obtener  puntos de la recta de forma rápida, es recordando lo que significa cada elemento de la ecuación punto-pendiente:

 

 

Donde  representa la pendiente de la recta y  representa la coordenada del punto donde la recta atraviesa el eje , es decir, saber esto nos dirá rápidamente que un punto en la recta es la coordenada es .

 

Ahora, suponemos que en nuestra ecuación la variable  y, entonces tenemos . Despejamos  :

 

 

Este valor es conocido como  y es el valor donde la recta atraviesa el eje  , saber esto nos dirá rápidamente que un punto en la recta es la coordenada es 

De tal forma, en nuestra ecuación que usamos de ejemplo, obtendríamos los puntos  y  

SEMANA 27 DE JULIO AL 31 DE JULIO 

GEOMETRÍA ANALÍTICA.

LA LÍNEA RECTA, REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES

¿Qué es la geometría analítica?

La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etcétera. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra.

Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el Plano cartesiano, que es bidimensional y está compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que sean de nuestro interés, asignando a cada punto de la misma un lugar puntual de coordenadas (x, y).

Así, los análisis de la geometría analítica usualmente comprenden la interpretación matemática  de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O bien puede ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia se encuentra plasmada en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo.

La geometría analítica es un campo fundamental de las matemáticas que suele formar parte del pensum de estudios de la secundaria.

Ver además: Plano cartesiano

Historia de la geometría analítica

El fundador de este campo de estudio se considera el filósofo francés René Descartes (1596-1650), con el apéndice titulado “La Geometrie” en su célebre obra Discurso del método.

Sin embargo, en el siglo XI, el matemático persa Omar Khayyam (c.1048-c.1131) empleó ideas semejantes, que Descartes difícilmente podía conocer. Es decir que ambos probablemente las inventaron por cuenta propia.

Dado lo herméticas de las ideas de Descartes, el matemático holandés Franz van Schooten (1615-1660) y sus colaboradores ampliaron, desarrollaron y divulgaron la geometría analítica en Occidente. Solía llamársela “Geometría cartesiana”, para rendir homenaje a su creador, pero ese término hoy en día prefiere usarse para referirse únicamente al apéndice escrito por Descartes.

Aplicaciones de la geometría analítica

La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y hoy en día sus aplicaciones podemos verlas en, por citar unos ejemplos:

• Los puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera, hasta sus versiones modernas con cables de acero, el principio geométrico de la parábola se aplica en cada uno de ellos.
• Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar información satelital tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje, persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el disco de la antena puede reflejar la señal satelital hacia el dispositivo de alimentación.
• La observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, como lo dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no una circunferencia, como creía Copérnico (1473-1543). Dichos cálculos fueron posibles sólo empleando la Geometría analítica.

Fórmulas de la geometría analítica

La geometría analítica ofrece fórmulas para las figuras geométricas.

La geometría estudia las figuras geométricas y obtiene sus ecuaciones básicas, como son:

• Las rectas se describen mediante la fórmula ax + by = c.
• Los círculos se describen mediante la fórmula x2 + y2 = 4.
• Las hipérbolas se describen mediante la fórmula xy = 1.
• Las parábolas se describen mediante la fórmula y = ax2 + bx + c.
• Las elipses se describen mediante la fórmula (x2/a2) + (y2/b2) = 1.

Ecuación de la recta

(Segundo medio)

Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano .

La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano ).

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta .

Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado .

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

1.– Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) .

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales (   );  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto ( 7, 2 ) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y ) satisface la ecuación y = x – 5 , ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce , que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto ( x, y ), la pendiente ( m ) y el punto de intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n , esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ordenadas (y) .

Respecto a esto, en el gráfico de arriba, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

Ver: Pendiente de la recta (positiva o negativa)

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y 1 = m(x − x 1 )

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7) .

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,  la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y ).

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 .

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

Usamos la información que tenemos:

m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10 .

La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5 .

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b ; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2) , por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7 .

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

la cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5.

Además:

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0 , la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto ( 1, 3 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n , queda n = 1 .

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1 .

Si nos dicen que la recta pasa por el punto ( 1, 3 ) y ( 2, 5 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,

5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de arriba: Cuando se tienen dos puntos de una recta P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) , la pendiente, que es siempre constante , queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y 1 = m(x – x 1 )

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 = (x 1 ,  y 1 ) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:

y – y 1 = m(x – x 1 )

Ver: PSU: Matemáticas,

Pregunta 36_2010

Pregunta 15_2006

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y 1 = m(x – x 1 )

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0) , en ella la pendiente ( m ) y el coeficiente de posición ( n ) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0 ?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y) , también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

 y 

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo 1:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y – 2 = x – 1

y – 2 – x + 1 = 0

y – x – 2 + 1 = 0

y – x – 1 = 0

Ejemplo 2:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 (4, 3) y P 2 (–3,  –2)

Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:

–2 – 3 = y – 3
–3 – 4        x – 4

–5 = y – 3
–7        x – 4

y – 3  = x – 4 (–5 /–7)

y – 3 = –5 x  + 20
–7

–7 (y – 3) = –5 x + 20

–7y +21 + 5x – 20 = 0

5x – 7y + 1 = 0

Que se corresponde con una ecuación de la forma general

Ax + By + C = 0

Donde

A = 5

B = 7

C = 1

SEMANA 20 DE JULIO AL 24 DE JULIO 

CURVAS CRECIENTES Y DECRECIENTES, CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. APLICANDO DERIVADAS

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

 

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1. Creciente en los intervalos  , 

2. Decreciente en los intervalos  , 

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos  ,  y  la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

 

	Teorema 1
	Sea f una función continua en un intervalo cerrado  y derivable en el intervalo   abierto . Si  para toda x en , entonces la función f es creciente en . Si  para toda x en , entonces la función f es decreciente en . Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .
   
   Para ello calculemos la primera derivada de .
   
   Como , o sea si , entonces f es creciente para .
   
   Como , o sea si , entonces f es decreciente para .
   
   En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

    

    

2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación  con .
   
   La derivada de f está dada por  que puede escribirse como 
   
   Como  es positivo para toda x en  entonces:
   
                y
   
   
   
   
   
   Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
   
   

   Luego:  si  por lo que la función f crece en el intervalo .
   
   Además:  si  de donde la función f decrece en el intervalo .
   
   La representación gráfica de la función es la siguiente:

    
   
   

3. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación , con .
   
   La derivada de f es .
   
   Como  es mayor que cero para x en , , y además  entonces  para todo x en  , por lo que la función f es decreciente para x en , . La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

    

Curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión

Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica.
Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.

Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava)

Teorema
  es convexa en 
  es cóncava en 
  posible punto de inflexión en 
[Será punto de inflexión cuando ]

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad

 1) Calculamos  y 
 2) Resolvemos la ecuación 
 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

 4) Estudiamos el signo de  en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto  del intervalo y comprobamos si  es positivo o negativo.

 Si es positivo, la función es convexa en ese intervalo
 Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo

Calcular puntos de inflexión

Las soluciones de la ecuación  son los candidatos a puntos de inflexión.
A cada candidato "c" le aplicamos la 3ª derivada:
 Si  es punto de inflexión
 Si  no podemos asegurar nada

SEMANA 13 DE JULIO AL 17 DE JULIO 

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1.

f'(a) = 0

2.

f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

SEMANA 06 DE JULIO AL 10 DE JULIO 

REGLA DE L`HOPITAL

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli​ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.​

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.​ La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L'Hopital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.⁴​⁵​⁶​

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c. Si existe el límite L de f '/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=L}$ Guillaume de l'Hôpital

Demostración[editar]

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa requiere de argumentos de tipo ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$ más delicados.⁴​⁶​

• Como ${\displaystyle g(c)=0}$ y ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$, se tiene que ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$ como consecuencia del Teorema de Rolle.

• Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe t_x en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\cfrac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}={\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}}$

• Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, t_x también tiende hacia c, así que:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\cfrac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}=L}$

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que se deriva el numerador y el denominador por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{1}}=1}$

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)}}}$

${\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})-2}{1-\cos(x)}}}$

${\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{\sin(x)}}}$

${\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})}{\cos(x)}}={\frac {e^{0}+e^{-0}}{\cos(0)}}={\frac {1+1}{1}}=2}$

Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {0}{0}}\end{matrix}}}$ mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}}$ se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{4}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {1}{x^{4}}}}}$

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}}$ también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no se presentan como cocientes pueden ser resueltos con esta regla, recurriendo a transformaciones previas que lleven a un cociente del tipo ${\displaystyle {\cfrac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }}}$.

• Tipo ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Se trata de hacer una transformación como           ${\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {0}{\cfrac {1}{\infty }}}={\cfrac {0}{0}}}$           o         ${\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {\infty }{\cfrac {1}{0}}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

El más clásico:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \log(x)=\lim _{x\to 0}{\cfrac {\log(x)}{\cfrac {1}{x}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {-1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 0}(-x)=0}$

• Tipo ${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\overbrace {x} ^{\infty }}{\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} _{\infty }}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to \infty }{\cfrac {(x)'}{(x+{\sqrt {x^{2}-x}})'}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\cfrac {1}{1+1}}={\cfrac {1}{2}}}$

Generalizaciones

• La regla de L'Hôpital vale para límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos.

• La regla de L'Hôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que sean diferenciables. Dadas dos funciones diferenciables f y g tales que f(c) = g(c) = 0, se tiene:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {f(\mathbf {x} )}{g(\mathbf {x} )}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\nabla f(\mathbf {x} )\cdot (\mathbf {x-c} )}{\nabla g(\mathbf {x} )\cdot (\mathbf {x-c} )}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\|\nabla f(\mathbf {x} )\|}{\|\nabla g(\mathbf {x} )\|}}\left({\frac {\cos \theta _{f}}{\cos \theta _{g}}}\right)}$

${\displaystyle \nabla f\nabla g}$, representan los gradientes de ambas funciones escalares.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$, representa el producto escalar de dos vectores.

${\displaystyle \|\cdot \|}$, representa la norma de un vector.

${\displaystyle \theta _{f}}$, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector ${\displaystyle \mathbf {x-c} }$.

${\displaystyle \theta _{g}}$, es el ángulo formado por el gradiente de g y el vector ${\displaystyle \mathbf {x-c} }$.

SEMANA 30  DE JUNIO AL 03 DE JULIO

TEOREMA DE ROLLE Y LEY DE L´HOPITAL

Teorema de Rolle

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Y si f(a) = f(b)

Entonces, existe algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Regla de L'Hôpital

Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe , este límite coincide con .

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma , donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

SEMANA 22 AL 26 DE JUNIO 

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

 

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

  

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

 

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

 

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

“.

Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

 

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para  con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:

 

Aplicando el teorema:

 

 

Pues f(1)=ln 1=0

 

Y como para x distinto de cero:

 

 

Dado que la  penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:

 

 Como queríamos probar.

 

 

 

Teorema de Rolle:

Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:

F’(c)= 0

Ejemplo:

f(x)=x3+ 4x2-7x-10

en el intervalo [-1, 2]

 

f'(x)=3x2+ 8x-7

 

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

 

f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0

Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

 

Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.

 

 

Teorema de Cauchy

 

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:

 

“

Ejemplo del Teorema de Cauchy

 

f(x)= sen x

g(x)= 1+ cos x

 

en 

 

f'(x)= cos x

g'(x)= 1- sen x

Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente  en x=pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto  y como además:

 

Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

 

 

 

Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.

Integrales

 

Integrales Indefinidas:

 

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

                                           

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración.

 

Ejemplo:

 

 

Integrales definidas:

 

Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

 

SEMANA 15 AL 19 DE JUNIO 

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

 

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

  

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

 

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

 

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

“.

Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

 

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para  con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:

 

Aplicando el teorema:

 

 

Pues f(1)=ln 1=0

 

Y como para x distinto de cero:

 

 

Dado que la  penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:

 

 Como queríamos probar.

 

 

 

Teorema de Rolle:

Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:

F’(c)= 0

Ejemplo:

f(x)=x3+ 4x2-7x-10

en el intervalo [-1, 2]

 

f'(x)=3x2+ 8x-7

 

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

 

f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0

Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

 

Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.

 

 

Teorema de Cauchy

 

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:

 

“

Ejemplo del Teorema de Cauchy

 

f(x)= sen x

g(x)= 1+ cos x

 

en 

 

f'(x)= cos x

g'(x)= 1- sen x

Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente  en x=pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto  y como además:

 

Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

 

 

 

Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.

Integrales

 

Integrales Indefinidas:

 

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

                                           

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración.

 

Ejemplo:

 

 

Integrales definidas:

 

Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

 

SEMANA 08 AL 12 DE JUNIO 

REGLA DE LA CADENA DERIVADA LOGARITMICA

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.

Derivada de logaritmo de función: ln(u(x))La regla de la cadena se puede combinar con la derivada del logaritmo natural para obtener la derivada de logaritmo compuesto con una función, ln(u(x))
      

Derivada de la función logarítmica generalMediante la fórmula de cambio de base podemos obtener la derivada del logaritmo de x con base b. Primero pasamos el logaritmo a base e
      
Reescribimos antes de derivar como el producto de un factor constante por el logaritmo natural de x
      

Ya podemos diferenciar, tomando en cuenta que lnb es una constante y por tanto, la fracción también lo es

         cambiamos el orden, para recordarnos que es la derivada del logaritmo natural por un factor numérico
      

Para la derivada del logaritmo base b de una función de x tenemos la siguiente fórmula

      

SEMANA 01 AL 05 DE JUNIO 

DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función

Ejemplos

SEMANA 25 AL 29 DE MAYO

DERIVADAS

Las derivadas algebraicas consisten en el estudio de la derivada en el caso particular de funciones algebraicas. El origen de la noción de derivada se remonta a la Antigua Grecia. El desarrollo de esta noción estuvo motivada por la necesidad de resolver dos problemas importantes, uno en física y otro en matemáticas.

En física, la derivada resuelve el problema de determinar la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. En matemáticas, permite hallar la recta tangente a una curva en un punto dado.

Aunque realmente son muchos más los problemas que se resuelven haciendo uso de la derivada, así como sus generalizaciones, resultados que vinieron posteriormente a la introducción de su concepto.

Los pioneros del cálculo diferencial son Newton y Leibniz. Antes de dar la definición formal, vamos a desarrollar la idea que hay detrás, desde el punto de vista matemático y físico.

La derivada como pendiente de la recta tangente a una curva

Supongamos que el gráfico de una función y=f(x) es un gráfico continuo (sin picos o vértices ni separaciones), y sea A=(a,f(a)) un punto fijo sobre él. Queremos hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f en el punto A.

Tomemos otro punto cualquiera P=(x,f(x)) del gráfico, cercano al punto A, y tracemos la recta secante que pasa por A y por P. Una recta secante es una recta que corta al gráfico de una curva en uno o más puntos.

Para obtener la recta tangente que queremos, solo hace falta calcular la pendiente pues ya tenemos un punto de la recta: el punto A.

Si movemos el punto P por el gráfico y lo acercamos cada vez más al punto A, la recta secante anteriormente mencionada se aproximará a la recta tangente que se quiere hallar. Tomando el límite cuando “P tiende a A”, ambas rectas coincidirán, por lo tanto sus pendientes también.

La pendiente de la recta secante viene dada por

Decir que P se aproxima a A, es equivalente a decir que “x” se aproxima a “a”. Así, la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto A, será igual a:

La expresión anterior se denota por f’(a), y se define como la derivada de una función f en el punto “a”. Vemos pues que analíticamente, la derivada de una función en un punto es un límite, pero geométricamente, es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto.

Ahora veremos esta noción desde el punto de vista de la física. Llegaremos a la misma expresión del límite anterior, aunque por un camino distinto, obteniendo así la unanimidad de la definición.

La derivada como velocidad instantánea de un objeto en movimiento

Veamos un breve ejemplo de lo que significa velocidad instantánea. Cuando se dice, por ejemplo, que un automóvil para llegar a un destino lo hizo con una velocidad de 100 km por hora, lo que significa es que en una hora recorrió 100 km.

Esto no significa necesariamente que durante toda la hora el automóvil siempre fue a 100 km, el velocímetro del automóvil pudo en algunos instantes marcar menos o más. Si tuvo la necesidad de pararse en un semáforo, la velocidad en ese instante fue de 0 km. Sin embargo, al cabo de una hora, el recorrido fue de 100 km.

Esto es lo que se conoce como velocidad promedio y viene dada por el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido, como acabamos de ver. La velocidad instantánea, por su parte, es la que marca la aguja del velocímetro de un automóvil en un instante (tiempo) determinado.

Veamos esto ahora d manera más general. Supongamos que un objeto se desplaza a lo largo de una recta y que este desplazamiento es representado por medio de la ecuación s=f(t), donde la variable t mide el tiempo y la variable s el desplazamiento, tomando en cuenta su inicio en el instante t=0, en cuyo momento también es cero, es decir, f(0)=0.

Esta función f(t) se conoce como función de posición.

Se busca una expresión para la velocidad instantánea del objeto en un instante fijo “a”. A esta velocidad la denotaremos por V(a).

Sea t un instante cualquiera cercano al instante “a”. En el intervalo de tiempo que hay entre “a” y “t”, el cambio de posición el objeto viene dado por f(t)-f(a).

La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es:

La cual es una aproximación de la velocidad instantánea V(a). Esta aproximación será mejor a medida que t se acerque más a “a”. Por lo tanto,

Observemos que esta expresión es igual a la obtenida en el caso anterior, pero desde una perspectiva diferente. Esto es lo que se conoce como la derivada de una función f en un punto “a” y se denota por f’(a), como se dijo anteriormente.

Notemos que haciendo el cambio h=x-a, se tiene que cuando “x” tiende a “a”, “h” tiende a 0, y el límite anterior se transforma (de manera equivalente) a:

Ambas expresiones son equivalentes pero a veces conviene más utilizar una en lugar de la otra, dependiendo del caso.

Se define entonces de manera más general la derivada de una función f en un punto cualquiera “x” perteneciente a su dominio como

La notación más usual para representar la derivada de una función y=f(x) es la que acabamos de ver (f’ o y’). Sin embargo, otra notación muy usada es la notación de Leibniz que se representa como cualquiera de las siguientes expresiones:

En vista de que la derivada es en esencia un límite, esta puede existir o no, pues los límites no siempre existen. En caso de que exista, se dice que la función en cuestión es diferenciable en el punto dado.

Función algebraica

Una función algebraica es una combinación de polinomios por medio de sumas, restas, productos, cocientes, potencias y radicales.

Un polinomio es una expresión de la forma

Pn=anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+…+ a2x2+ a1x+a0

Donde n es un número natural y todos los ai, con i=0,1,…,n, son números racionales y an≠0. En este caso se dice que el grado de este polinomio es n.

Los siguientes son ejemplos de funciones algebraicas:

Aquí no están incluidas las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las reglas de derivación que veremos a continuación son válidas para funciones en general, pero nos restringiremos y las aplicaremos en el caso de funciones algebraicas.

Reglas de derivación

Derivada de una constante

Establece que la derivada de una constante es cero. Es decir, si f(x)=c, entonces f’(x)=0. Por ejemplo, la derivada de la función constante 2 es igual a 0.

Derivada de una potencia

Si f(x)=xn, entonces f’(x)=nxn-1. Por ejemplo, la derivada de x3 es 3x2. Como consecuencia de esto, se obtiene que la derivada de la función identidad f(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Otro ejemplo es el siguiente: sea f(x)=1/x2, entonces f(x)=x-2 y f’(x)=-2x-2-1=-2x-3.

Esta propiedad también es válida raíces, pues las raíces son potencias racionales y se puede aplicar lo anterior también en ese caso. Por ejemplo, la derivada de una raíz cuadrada viene dada por

Derivada de una suma y de una resta

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces la suma f+g también lo es y se cumple que (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).

Análogamente se tiene que (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x). En otras palabras, la derivada de una suma (resta), es la suma (o resta) de las derivadas.

Ejemplo

Si h(x)=x2+x-1, entonces

h’(x)=(x2)+(x)’-(1)’=2x+1-0=2x+1.

Derivada de un producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces el producto fg también es diferenciable en x y se cumple que

(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

Como consecuencia se tiene que si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf también es diferenciable en x y (cf)’(x)=cf’(X).

Ejemplo

Si f(x)=3x(x2+1), entonces

f’(x)=(3x)’(x2+1)+(3x)(x2+1)’=3(x)’(x2+1)+3x[(x2)’+(1)’]

=3(1)( x2+1)+3x[(2x2-1)+0]=3(x2+1)+3x(2x)=3x2+3+6x2

=9x2+3.

Derivada de un cociente

Si f y g son diferenciables en x y g(x)≠0, entonces f/g también es diferenciable en x, y se cumple que

Ejemplo: si h(x)=x3/(x2-5x), entonces

h’(x)=[( x3)’(x5-5x)-( x3) (x5-5x)’]/ (x5-5x)2=[(3x2) (x5-5x)- ( x3) (5x4-5)]/ (x5-5x)2.

Regla de la cadena

Esta regla permite derivar la composición de funciones. Establece lo siguiente: si y=f(u) es diferenciable en u, y u=g(x) es diferenciable en x, entonces la función compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y se cumple que [f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x).

Es decir, la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función externa (derivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).

Ejemplo

Si f(x)=(x4-2x)3, entonces

f’(x)=3(x4-2x)2(x4-2x)’=3(x4-2x)2(4x3-2).

También hay resultados para calcular la derivada de la inversa de una función, así como la generalización a derivadas de orden superior. Las aplicaciones son extensas. Entre ellas resaltan sus utilidades en problemas de optimización y de máximos y mínimos de funciones.

SEMANA 18 AL 22 DE MAYO

DERIVADAS 

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Cálculo de la derivada

La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.

Derivadas de funciones elementales

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

• Derivada de potencias: si

${\displaystyle f(x)=x^{r},\,}$

donde r es cualquier número real, entonces

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},\,}$

donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si ${\displaystyle f(x)=x^{1/4}}$, entonces

${\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4},\,}$

y la función derivada es definida solo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).

• Funciones exponenciales y logarítmicas:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}.}$

• funciones trigonométricas:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• Funciones trigonométricas inversas:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Reglas usuales de derivación

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

• Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

${\displaystyle f'(x)=0.\,}$

• Regla de la suma:

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$, para toda función f y g y todo número real ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$.

• Regla del producto:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo, ${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\pi r^{2}=2\pi r.\,}$

• Regla del cociente:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

• Regla de la cadena: Si ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$, siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces³​

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$

Ejemplo de cálculo

La derivada de

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

es

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x², x⁴, sin(x), ln(x) y exp(x) = e^x, así como la constante 7, también fueron usadas.

SEMANA 11 AL 15 DE MAYO

FUNCIÓN CONTINUA

FUNCIÓN CONTINUA: Una función es continua sino presenta cortes o saltos.

Introducción

Las funciones matemáticas se utilizan en otros ámbitos, por ejemplo, para calcular los beneficios o los costes de una empresa, la velocidad o aceleración de un móvil, etc., por lo que es importante conocer el comportamiento de una función.

Por ejemplo, la siguiente función no está definida en $x=0$ ni en $x=-1$ (porque no se puede dividir entre $0$):

Sin embargo, sí podemos preguntarnos cómo se comporta la función cuando $x$ se aproxima a $0$ o cuando se aproxima a $-1$.  ¿Y si $x$ crece o decrece indefinidamente? Los límites de la función $f$ nos proporcionan las respuestas.

Además de ayudarnos a visualizar la gráfica de la función, los límites también se utilizan para estudiar otras propiedades, como la continuidad de una función, la diferenciabilidad, etc.

2. Concepto de límite

Dada una función $f:R\to R$ y un punto $x_0\in R$, el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $x_0$ se representa como

En un principio, este límite es el valor que toma $f$ en el punto $x_0$, es decir, $f\left(x_0\right)$. Si $f\left(x_0\right)$ no existe (por ejemplo, cuando $x_0$ anula el denominador de $f$), entonces el límite es el valor al que $f$ se aproxima cuando $x$ se aproxima a $x_0$.

Por ejemplo, sea la función

No existe $f\left(0\right)$, pero cuanto más se aproxima $x$ a $0$, la función crece más y más, como podemos observar en la gráfica:

Por tanto, el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $0$ es infinito:

También, podemos predecir el comportamiento de la función cuando $x$ crece o decrece indefinidamente (cuando $x$ tiende a $\pm \infty$). Cuando esto ocurre, la función $f\left(x\right)=1/x^2$ se aproxima cada vez más a $0$:

A CONTINUACIÓN SE PRESENTA LA RESPECTIVA VIDEO CLASE

A CONTINUACIÓN DESARROLLAR LA SIGUIENTE ACTIVIDAD