De la definición de un polinomio sabemos que este es una expresión algebraica formada por sumas o restas entre monomios y, que estos monomios que forman el polinomio se llaman términos del polinomio.
Por lo tanto la suma o resta de uno o más polinomios, es la suma o resta de monomios semejantes para hallar el polinomio resultante.
La suma de dos o más polinomios se realiza de la siguiente manera:
1.Se escribe el polinomio.
2.Se eliminan los signos de agrupación si los hay, aplicando ley de signos.
3.Se identifican términos semejantes.
4.Se agrupan los términos semejantes, gracias al concepto de propiedad asociativa.
5.Se procede a sumar o restar como una operación de monomios semejantes los términos agrupados.
6.Se escribe el nuevo polinomio en orden ascendente o descendente con respecto a una de las variable.
Ejemplo
SEMANA DEL 26 AL 30 DE OCTUBRE
SUMA DE POLINOMIOS.
¿Qué son los polinomios?
Antes de empezar a aprender a sumar polinomios debemos saber qué son y qué propiedades tienen. Es importante entender cuál es la parte literal, el grado y saber ordenar sus términos.
Si todavía no tienes claro estos conceptos te invito a que leas los post anteriores sobre las propiedades de los monomios y las propiedades de los polinomios.
La suma se puede hacer de dos formas distintas: en horizontal y en vertical. Vamos a ver las dos maneras y después puedes elegir cuál te resulta más fácil utilizar.
Suma de polinomios en horizontal
Para hacer las operaciones en horizontal primero escribimos un polinomio y seguido en la misma línea escribimos el otro que vamos a sumar o restar. Después, agrupamos términos semejantes.
Ejemplo:
Vamos a realizar la suma. Para ello escribimos cada uno rodeado de paréntesis y con el signo de la suma entre ellos.
Fíjate en los términos que son semejantes entre los dos polinomios.
No podemos sumar dos términos que tienen distinto grado, solo podemos agrupar los que sean semejantes y después sumar.
En la siguiente imagen están identificados los términos semejantes rodeados con el mismo color.
Igual que hemos hecho con el término de grado 2, debemos sumar los términos de grado 1 y los términos de grado 0.
El resultado de la suma es:
Suma de polinomios en vertical
Para hacer las sumas en vertical debemos escribir el primer polinomio ordenado. En el caso de que sea incompleto es conveniente dejar los huecos libres de los términos que falten. Después, escribimos el siguiente polinomio debajo del anterior, de manera que coincida justo debajo el término semejante al de arriba. Después, ya podemos sumar cada columna.
Ejemplo:
Vamos a ver la suma en vertical con los dos polinomios del ejemplo anterior.Fíjate en el primer polinomio. Hay que escribirlo ordenado y ver si está completo. En este caso falta el término de grado 3, entonces debemos dejar el hueco correspondiente o escribir un cero en su lugar.Ahora escribimos el segundo debajo del primero, de manera que coincidan los términos semejantes uno debajo de otro.
Solo queda sumar cada columna, es decir, sumar los términos semejantes.
SEMANA DEL 19 AL 23 DE OCTUBRE
LOS POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios
donde, es un número natural y
Coeficientes:
Variable o indeterminada:
Coeficiente principal:
Término independiente:
Ejemplo
Coeficientes:
Variable o indeterminada:
Coeficiente principal:
Término independiente:
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Según su grado los polinomios pueden ser de:
TIPO
EJEMPLO
Grado cero
Primer grado
Segundo grado
Tercer grado
Cuarto grado
Quinto grado
Tipos de polinomios
1Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
2Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
3Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.
4Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
5Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
6Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
7Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
8Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
9Polinomio mónico
Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1, por ejemplo
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Ejemplo:
Calcular el valor numérico del polinomio: , para los valores
Polinomio de varias variables
Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuentan con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo
Ejemplos:
También se puede obtener el valor numérico de estos
SEMANA DEL 13 AL 16 DE OCTUBRE
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN BINOMIO Y UN TRINOMIO
Qué es la multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios, se refiere a la suma que se obtiene de multiplicar los coeficientes de los monomios del primer polinomio por los coeficientes de los monomios del segundo polinomio.
En toda multiplicación debemos recordar, que ademas de multiplicar los coeficientes, también se deben multiplicar los signos.
Ahora bien, para estudiar la multiplicación de polinomios, es necesario, aprender antes el procedimiento a seguir para efectuar multiplicaciones de monomios, ya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios, están compuestos por varios monomios; y realizar una multiplicación de polinomios, es lo mismo que multiplicar varios monomios.
Ejemplo de multiplicación de monomios, ejercicios resueltos
1.- Dados los monomios y entonces
como pueden observar se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.
2.- Dados los monomios y entonces
se multiplicaron los coeficientes de los términos a través de la multiplicación de fracciones, se multiplicaron los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.
3.- Dados los monomios y entonces
se observa que se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) que tenían la misma base (variable).
4.- Dados los monomios y entonces no se sumaron los exponentes porque las variables son distintas.
Para multiplicar monomios con polinomios, binomios con polinomios, trinomios con polinomios,o hacer las diferentes combinaciones entre ellos, el procedimiento a seguir es el mismo de la multiplicación de polinomios. Esto lo entenderás de mejor manera y lo pondrás en práctica con las definición que se explican a continuación:
Cómo multiplicar polinomios
Hacer una multiplicación de dos o mas polinomios, es multiplicar los coeficientes de sus términos y luego sumar los resultados de las multiplicaciones. Cabe destacar que al hacer la multiplicación de los coeficientes, los exponentes (grado de los términos) que tienen la misma base (variable) se suman. El resultado que se obtiene de multiplicar dos o mas polinomios es un solo polinomio.
Para hacer multiplicación de binomios, trinomios, cuatrinomioso cualquier tipo de polinomio el procedimiento es el mismo; solo debemos seleccionar el método de preferencia y procedemos a multiplicar.
Existen dos métodos de resolver multiplicaciones de polinomios:
De forma horizontal.
De forma vertical.
Multiplicación de polinomios de forma horizontal
Para hacer multiplicaciones de polinomios usando este método debemos seguir los siguientes pasos:
Ordenamos los polinomios.
Multiplicamos los coeficientes de los términos del primer polinomio, con los del segundo polinomio; uno por uno al igual que los signos de los coeficientes. (Cabe destacar que se va multiplicando cada termino de un polinomio por todos los del otro polinomio).
Se suman los exponentes (grados) de los términos del polinomio que se van multiplicando (los que tienen la misma variable y los que no tienen la misma se le colocan las variables existentes en los dos términos).
Si son polinomios, binomios, trinomios, se suman los resultados obtenidos de las multiplicaciones usando la suma de polinomios.
Ejemplos de multiplicación de polinomios, binomios y trinomios de forma horizontal, ejercicios resueltos
A continuación se presentan ejercicios de multiplicación entre polinomios; haciendo combinaciones diferentes como: monomio por polinomio, binomio por trinomio, binomio por monomio, trinomio por binomio y muchas otras combinaciones entre los diversos tipos.
1.- Dados los polinomios y encontrar:
Solución:
Ordenamos los polinomios
Multiplicamos los coeficientes y vamos sumando los exponentes
Como los polinomios están ordenados procedemos a multiplicar coeficientes y sumar exponentes
Realizamos la suma de polinomios
Cómo se multiplican los polinomios de forma vertical
Para hacer multiplicaciones de polinomios, usando este método, el procedimiento a seguir es el mismo que se utiliza cuando se hace de manera horizontal (procedimiento explicado en el punto anterior), con la única diferencia que en este método debemos colocar un polinomio debajo del otro.
A continuación con la resolución de ejercicios, se te demostrará con mas detalle lo expuesto:
Ejemplos de multiplicación de polinomios, binomios y trinomios de forma vertical, ejercicios resueltos
A continuación se harán problemas de multiplicación de polinomios; haciendo diferentes combinaciones como: monomio por polinomio, binomio por trinomio, binomio por monomio, trinomio por binomio, binomio por binomio y muchas otras combinaciones entre los tipos de polinomio.
1.- Dados los siguientes polinomios encontrar :
Solución:
Ordenamos los polinomios
Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y finalmente hacemos la suma de polinomios verticalmente
2.- Dados los siguientes polinomios encontrar:
Solución:
Ordenamos los polinomios
Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y finalmente hacemos la suma de polinomios verticalmente
3.- Dados los siguientes polinomios encontrar:
Solución:
Ordenamos los polinomios
Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y finalmente hacemos la suma de polinomios
4.- Dados los siguientes polinomios y encontrar
Solución:
Ordenamos los polinomios
Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y finalmente hacemos la suma de polinomios
Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
2 Se suman los monomios del mismo grado (suma de términos semejantes) y obtenemos:
4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3 El polinomio obtenido es otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplicaron.
Grado del polinomio resultante = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
Segunda opción
También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.
1En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio.
2 Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.
3Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
SEMANA 28 DE SEPTIEMBR AL 02 DE OCTUBRE
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Dividiendo Monomios Entre Monomios
Cuando multiplicas dos monomios, multiplicas los coeficientes y luego multiplicas las variables. De manera similar, cuando divides monomios, divides los coeficientes y luego divides las variables. Cuando hay exponentes con la misma base, las reglas de los exponentes dicen que divides restando los exponentes. Considera el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Problema
Agrupa el monomio en factores numéricos y variables.
Divide los coeficientes, y divide las variables restando los exponentes de cada término y.
Respuesta
=
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo
Problema
Un rectángulo tiene un área de 8x2 y una longitud de 4x. Encuentra el ancho del rectángulo usando la fórmula: .
Sustituye los valores conocidos.
Divide los coeficientes, y divide las variables restando los exponentes de cada término x.
Respuesta
ancho = unidades
Algunas veces la división requiere algo de simplificación.
Ejemplo
Problema
Dividir.
Agrupa el monomio en factores numéricos y variables.
Simplifica a .
Divide las variables restando los exponentes de r. Observa que la variable tiene un exponente negativo.
Simplifica reescribiéndolo como el inverso de r.
Multiplica.
Respuesta
=
Recuerda que un término no se considera simplificado si contiene un exponente negativo; es por eso que se reescribió como .
La propiedad distributiva dice que puedes distribuir un factor que está siendo multiplicado por una suma o resta, y de la misma manera, puedes distribuir un divisor que está dividido entre una suma o resta (porque una división puede cambiarse a multiplicación.)
O puedes distribuir el 2, y dividir cada término entre 2.
Intentemos algo similar con un polinomio.
Ejemplo
Problema
Dividir.
Distribuye el 2x en el polinomio dividiendo cada término entre 2x.
Divide cada término, un monomio dividido entre otro monomio.
Respuesta
=
Intentemos con otro ejemplo, observa los signos.
Ejemplo
Problema
Dividir.
Divide cada término en el polinomio entre el monomio.
Simplifica. Recuerda que 18 puede escribirse como 18y0. Por lo que los exponentes son 0 – 1 = −1.
Escribe la respuesta final sin exponentes negativos.
Para dividir un monomio entre un monomio, divide los coeficientes (o simplifícalos como lo harías con una fracción) y divide las variables con bases iguales restando sus exponentes. Para dividir un polinomio entre un monomio, divide cada término del polinomio entre el monomio. ¡Asegúrate de cuidar los signos! Las respuestas finales deben escribirse sin exponentes negativos.
Ejemplo de Cómo Dividir Monomios
Veamos un ejemplo y lo resolveremos paso a paso:
1 – Empezamos dividiendo los números. Para ello podemos factorizarlos previamente o directamente indicar el resultado:
Y lo añadimos en el resultado:
2 – Seguimos con la variable x. Lo resolvemos a parte para seguir mejor el procedimiento. Se mantiene la base y se restan los exponentes:
Que lo añadimos al resultado:
3 – Ahora vamos con la variable y. Tenemos el mismo exponente en el numerador y en el denominador y en este caso, directamente se anulan. Pero mucho cuidado, el resultado de anularse es 1, no es 0.
Esto es así, porque si procedemos de la misma forma, el resultado de dividir dos potencias iguales es que la base queda elevada a 0 y por tanto, cualquier valor elevado a 0 es igual 1.
En general, cuando se repite el mismo factor en el numerador y en el denominador, el resultado es 1, que es lo mismo que dividir cualquier número, entre sí mismo.
Siguiendo con nuestro ejemplo, lo añadimos al resultado:
Normalmente, cuando el resultado es 1, no se indica nada, pero lo escribo para que quede más claro.
3 – Para finalizar, hacemos lo mismo con la variable z:
Recordamos que los exponentes negativos, para convertirlos en positivos se pasan al denominador (o al numerador si ya estaba en el denominador. Dedico una lección entera a los signos menos en las potencias en el curso de potencias.
Vuelvo a repetir para que quede claro que este procedimiento es válido sólo cuando tenemos factores.
Si aparece un signo de sumar o de restar ya no sería válido, porque entonces ya no sería un monomio, al haber más de un término y estaríamos hablando de la división de polinomios, que se resuelve de otra forma, dependiendo si puede factorizarse o nos piden realizar la división directamente
SEMANA 21 AL 25 DE SEPTIEMBRE
RESTA DE MONOMIOS
Resta de monomios
En la resta de monomios, de lo que se trata es de realizar una reducción entre monomios semejantes, es decir, con la misma composición de variables, no pudiendo realizarse en caso contrario, siendo el resultado de esta operación, otro monomio. Tendremos que tener mucho cuidado a la hora de mirar los signos, pues toda la cuenta puede salirnos mal si en vez de un menos ponemos un mas.
Diferenciaremos varios casos en la resta de monomios:
a) Resta de un monomio con un número entero:
Esto es lo más sencillo que os vais a encontrar en cuanto a restas, pues se trata, al igual que en la suma, de dejar planteada la expresión, ya que, al ser un número entero frente a un monomio, no podemos realizar cálculo alguno. Veamos este sencillo ejemplo:
No podemos hacer nada con ese tres, ya que, al no poseer parte literal, no es monomio, por tanto, no podemos operar, simplemente lo dejamos tal cual.
b) Resta de un monomio con un polinomio:
Aquí se complica un poco la cosa, pero aún así es fácil, nada más tenéis que agrupar ese monomio que tenemos con la parte del polinomio que sea semejante, es decir, que tenga dentro de ese polinomio un monomio semejante al de inicio.
Digamos que tenemos esto:
Al observar esta ecuación, vemos que tenemos dos bases iguales, las equis, y que están elevadas a un mismo exponente (el cuadrado). Pues con ese monomio es con el que asociaríamos y efectuaríamos la operación, es decir:
En esta variante, el resultado es un polinomio una vez reducido con nuestro monomio.
c) Resta de un monomio con otro monomio:
Bien, esto es muy sencillo, pues es lo mismo que el caso b) pero abreviado a solo dos monomios:
En este segundo ejemplo, no podemos operar de modo ninguno, pues las partes de las variables que acompañan a los coeficientes de los monomios son distintas, en este caso dejaríamos la expresión planteada de la misma forma que se nos ha presentado, formando un polinomio.
Como todas las operaciones, la resta de monomios tiene unas propiedades que ha de cumplir para poder obtener un resultado:
a) No es una operación interna: Ya que su resultado no tiene por qué ser un monomio, como vimos en el ejemplo, a veces se da el caso de que obtenemos un polinomio al restar dos monomios entre si.
b) No es conmutativa: Ya que, el signo puede variarlo todo. Veámoslo en el siguiente ejemplo:
Al cambiar el elemento de posición se produce un cambio en el signo del coeficiente, lo que provoca un resultado distinto. En resumen, hay que fijarse bien a la hora de poner el minuendo y el sustraendo.
**Pista**: Minuendo es la parte que va a ser restada y sustraendo la que se resta, o se «sustrae» , en nuestro ejemplo de arriba sería 4x el minuendo y 3x el sustraendo.
SEMANA 07 AL 11 DE SEPTIEMBRE
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
¿Que es un monomio?
Un monomio es un Polinomio que se compone de un solo termino algebraico.
Identificar los Monomios
Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.
1 3x³
2 5x−3
3 3x + 1
4
5
6
7
Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.
Soluciones:
1 3x³
Grado: 3, coeficiente: 3
2 5x−3
No es un monomio, porque el exponente no es un número natural.
3 3x + 1
No es un monomio, porque aparece una suma.
4
Grado: 1, coefiente:
5
Grado: 4, coefeciente:
6
No es un monomio, no tiene exponente natural (x−4).
7
No, porque la parte literal está dentro de una raíz.
Ejercicio de sumas y restas de monomios
Realiza las sumas y restas de monomios.
1 2x²y³z + 3x²y³z =
2 2x³ − 5x³ =
3 3x4 − 2x4 + 7x4 =
4 2a²bc³ − 5a²bc³ + 3a²bc³ − 2 a²bc³ =
Realiza las sumas y restas de monomios.
La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes.
1 2x2y3z + 3x2y3z=
=(2 + 3)x2y3z = 5x2y3z
2 2x3 − 5x3 =
=(2 − 5)x3 = −3x3
3 3x4 − 2x4 + 7x4 =
=(3 − 2 + 7)x4 = 8x4
4 2a2bc3 − 5a2bc3 + 3a2bc3 − 2a2bc3 =
=(2 − 5 + 3 − 2)a2bc3 = −2a2bc3
Ejercicio de productos con mo
Suma de monomios
Para poder sumar dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal.
La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
Ejemplos:
Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.
Ejemplo:
no se pueden sumar.
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.
Ejemplos:
Es corriente que para indicar la multiplicación no pongamos el signo "por" entre el número y el paréntesis
SEMANA 24 AL 29 DE AGOSTO
PREÁLGEBRA-EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIOS-BINOMIOS
Expresiones algebraicas
Si eres nuevo en esto del álgebra, o quizás lo estudiaste hace mucho tiempo, lo primero que notarás es que los problemas se ven un poco diferentes a los de aritmética simple. Observa la siguiente expresión:
Esta incluye algunos símbolos que son comunes en álgebra, pero no en matemáticas básicas. La forma en que se escriben la expresiones algebraicas se llama notación algebraica.
Esta notación incluye cinco componentes principales: variables o incógnitas, coeficientes, operadores, exponentes y paréntesis.
Veamos de qué se trata cada uno de ellos.
Variables o incógnitas
Una variable o incógnita es una letra que se usa para representar un número. Por ejemplo, en la siguiente expresión, la variable representa un número desconocido que al sumarle dará .
Expresado como una pregunta sería: ¿a qué número puedes agregarle para que dé ?
Escribimos porque, inicialmente, no sabemos cuál es tal número, pero lo podemos averiguar. Como sabemos que , nuestra variable debe ser 3 o, en otras palabras, .
Encontrar el valor de un número desconocido es uno de los objetivos del álgebra.
Aunque es la más usada, cualquier letra puede ser una variable. Un problema de álgebra puede tener una o muchas variables y, si una variable se usa más de una vez en el mismo problema, su valor será igual en todos los casos. Observa esta ecuación:
Cada en esta expresión representa la misma cantidad. La otra variable, , puede tener un valor diferente.
El valor de una variable en un problema no es necesariamente igual en otro. Por ejemplo, era igual a en nuestro primer problema, pero no necesariamente será en otros problemas.
Coeficientes
Algunas veces verás una variable con un número frente a ella, así:
En este ejemplo, es el coeficiente. Los coeficientes son una forma de agrupar variables. es solo una forma compacta de escribir .
Veamos otro ejemplo, ¿cómo podrías usar coeficientes para reescribir la siguiente expresión?
Como hay cuatro y tres , podrías escribirla como . Así es mucho más fácil de leer:
La expresión anterior no es igual a . Puedes solamente sumar o restar variables que son la misma letra, como o , pero nunca .
Para más información sobre cómo sumar y restar variables , revisa nuestra lección sobre simplificación de expresiones.
Operadores
Los operadores son los símbolos que nos indican la operación que debemos realizar. Seguramente, los has visto antes:
Estos símbolos te permiten saber cómo calcular una expresión: cuando ves el símbolo de suma, sabes que debes sumar dos números; cuando vez el de resta, sabes que debes restarlos. En álgebra, los símbolos y no tienen cambios, pero los símbolos de multiplicación, , y división, , se escriben de otra forma.
Multiplicación
En aritmética, la multiplicación se escribe usualmente como:
En álgebra el símbolo de multiplicación se escribe diferente. Esto se debe a que se ve muy parecido a la variable . Por esta razón, se usa el símbolo punto . Así que en álgebra, un problema de multiplicación se escribe así:
Hay otras formas de expresar la multiplicación en álgebra. Puedes simplemente escribir una variable junto a otra para multiplicarlas. Por ejemplo, para multiplicar y , podrías simplemente escribir lo siguiente:
División
Quizás estés más familiarizado con problemas de división que lucen así:
En álgebra, podrás verla también así:
Además, si estás dividiendo grupos de números, la división se indica con una línea horizontal:
Todo lo que está sobre la línea está dividido por todo lo que esta debajo de ella, en este ejemplo se divide sobre .
Paréntesis
En álgebra, los paréntesis se usan para agrupar partes de una expresión algebraica. En un problema debes resolver primero las expresiones que están dentro de ellos. Observa:
En este problema, debes comenzar por resolver todo lo que está entre paréntesis y, después, resolver lo demás.
Veamos qué pasa cuando dos grupos de paréntesis están uno junto al otro, sin ningún operador entre ellos:
Recuerda que en álgebra, cuando hay dos variable juntas, pero no hay ningún signo entre ellas, estas se multiplican. De igual forma, debes multiplicar dos grupos de paréntesis que están están uno junto a otro.
Potencias
Las potencias indican que un número ha sido multiplicado por sí mismo varias veces. Por ejemplo:
Significa que ha sido multiplicado por sí mismo veces. Es decir, es lo mismo que .
O usando variables,
Significa que el número desconocidoha sido multiplicado por sí mismoveces, lo que es igual a.
¿Has intentado alguna vez clasificar números? Observemos este problema.
Sam vio esta expresión en su libro de matemáticas.
x2−8
No está seguro cómo clasificar esta expresión, ¿sabes cómo?
Las expresiones como esta son el objetivo de esta Sección. Pon atención a esta Sección y para el final sabrás cómo identificar esta expresión.
Orientación
A veces, verás una expresión o una ecuación que tiene exponentes y variables. Estas expresiones y ecuaciones pueden tener más de una variable y, algunas veces, más de un exponente. Para entender cómo trabajar con estas variables y exponentes, tenemos que entender los polinomios .
Unpolinomioes una expresión algebraica que muestra la suma demonomios.
Sí, son palabras nuevas. A medida que comencemos a trabajar con polinomios, tendrás que aprender a trabajar con palabras completamente nuevas.
Escribe en tu cuaderno cada palabra nueva y su definición.
Unmonomioes una expresión en la que las variables y constantes pueden ser independientes o se pueden multiplicar. Un monomio no puede tener una variable en el denominador. Podemos pensar en un monomio como si fuera un término.
Para entender mejor estos términos nuevos, observemos algunos prefijos.
Palabra
Monopolio
Bicicleta
Triciclo
Polígono
Definición
Una situación en la que una compañía es propietaria de todo el mercado de un tipo de producto determinado.
Un vehículo con dos ruedas .
Un vehículo con tres ruedas.
Una forma con muchos lados.
Prefijo
Mono significa "uno".
Bi significa "dos".
Tri significa "tres".
Poli significa "muchos".
En matemáticas, también podemos utilizar estos prefijos. Cada prefijo nos dará una pista sobre el tipo de expresión con el que trabajamos.
A continuación, se muestran algunos monomios : 5x3−2x5x2y
Debido a que el prefijo mono significa "uno", un monomio es una sola pieza o término . El prefijo poli significa "muchos". Así que la palabra polinomio se refiere a uno o más que un término en una expresión. La relación entre estos términos pueden ser sumas o restas.
A continuación, se muestran algunos polinomios : x2+53x−8+4x5−7a2+9b−4b3+6
Llamamosmonomio, a una expresión con un solo términobinomio, a una expresión con dos términos, ytrinomio. a una expresión con tres términos. Una expresión con más de tres términos es llamada según su número de términos, por ejemplo, "polinomio de cinco términos".
A partir de la información anterior, podemos nombrar las expresiones como se muestra a continuación:
Número de Términos
1
2
3
4
Nombre
monomio
binomio
trinomio
polinomio de cuatro términos
Expresión
−2x5
x2+5
3x−8+4x5
−7a2+9b−4b3+6
Identifica cada expresión.
Ejemplo A
4x3−8
Solución: Binomio.
Ejemplo B
x2+3x+9
Solución: Trinomio
Ejemplo C
6xy
Solución: Monomio
NoAhora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.
x2−8
Esta expresión tiene dos términos, por lo tanto, es un binomio.
Vocabulario
Polinomio
es una expresión algebraica que muestra la suma de monomios. Un polinomio también puede ser nombrado cuando se presentan más de tres términos.
Monomio
es una expresión con un solo término.
Binomio
es una expresión con dos términos.
Trinomio
es una expresión con tres términos.
SEMANA 24 AL 29 DE AGOSTO
FUNCIÓN AFIN
Función Afín
Función:
Es una relación que asocia a cada elemento del conjunto de partida con un único elemento del conjunto de llegada.
Nota: para que una relación sea función debe cumplirse que todos los elementos del conjunto de partida tengan una imagen y además estos deben tener una sola imagen. A las funciones suelen representarse por letras minúsculas tales como: f, g, h entre otras.
Algunos ejemplos de función son:
·f(x)=2x2-6x+8
·g(x)=9x3+6x
·f(x)=x2-6
·h(x)=4-8x-5x2+x3
·g(x)= 5x-4
Función Afín: es una función cuya gráfica es una línea recta, por lo que también se le denomina función lineal.
Esta función se puede escribir de la siguiente forma: f(x) = mx + b, donde m y b son números reales tales que, m se llama pendiente y b es el punto de corte con el eje de las ordenadas.
Si m es mayor que cero (m>0), se dice que la recta es creciente.
Si m es menor que cero (m<0), se dice que la recta es decreciente.
Si b = 0, la recta pasa por el origen.
La función lineal se distingue del resto de las funciones porque el exponente de su variable independiente es uno (variable x, grado 1).
La expresión f(x) se puede simplificar por la letra y, así podemos decir que y = f(x), así la ecuación de la recta se puede escribir también de esta manera: y = mx + b.
Entre algunos ejemplos de función lineal tenemos:
a)y = 4x+6
b)y = 5x-2
c)y = -2x-8
d)f(x)=-8x+2
e)g(x) = x +1
f)h(x) = x
Gráfica de la función Afín:
Veamos como realizar la gráfica de la siguiente función: y = 2x + 3
Tenemos que tener presente lo siguiente: hay que realizar una tabla de valores de doble entrada, para valores de la variable x y los valores de la variable y.
Los valores para la tabla se obtienen dando valores a la variable x, que al sustituirlos en la ecuación de la función se obtienen los respectivos valores para la variable y.
Al final se ubican en el plano cartesiano los pares ordenados determinados por la tabla que llenaste, para luego unir todos esos puntos con una línea recta.
Nota: es importante resaltar que la figura obtenida deber ser una recta que pase por todos los puntos de la tabla, y que además pase por eje y en el punto b, esto es, el valor que no está acompañado por la x.
x
y
La tabla en cuestión es como la que mostramos a continuación.
Para poder llenarla debemos realizar algunos cálculos, para lo cual también es necesario seleccionar algunos valores para la variable x, para esto se sugiere que tomes algunos valores que no sean muy altos, luego te darás cuenta porque.
Comenzamos:
Sea x = 3, al sustituir este valor en la ecuación dada tenemos que:
y = 2x + 3
y = 2 (3) + 3, al resolver esto sería
y = 6 + 3, así nos queda
y = 9
ahora sea x = 1
y = 2 (1) + 3, al resolver esto sería
y = 2 + 3, así nos queda
y = 5
tomemos ahora x = 2
y = 2 (2) + 3, al resolver esto sería
y = 4 + 3, así nos queda
y = 7
tomemos uno más, sea x = 0
y = 2 (0) + 3, al resolver esto sería
y = 0 + 3, así nos queda
y = 3
x
y
0
3
1
5
2
7
3
9
ahora procedemos a llenar la tabla antes
mencionada, con sus respectivos valores.
Y por último realizamos la gráfica, la cual quedaría de la siguiente manera:
SEMANA 17 AL 21 DE AGOSTO
FUNCIONES LINEALES
Y = mx
Función lineal
Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx,siendo m un número cualquiera distinto de 0.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0).
El número m se llama pendiente.
La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.
Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).
Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2
Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)
Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7
Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.
h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4
Si x= 98 entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.
Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.
SEMANA 10 AL 14 DE AGOSTO
LENGUAJE ALGEBRAICO-II PARTE
PROCESO DE ECUACIONES USANDO DOS NÚMEROS
¿Qué es una ecuación?
En matemáticas, como ocurre en otras asignaturas, hay que ser capaz de entender el sentido que tienen los términos que utilizamos. Seguro que tu profesor ya te lo ha dicho; ser capaz de retener la definición con el vocabulario matemático empleado es esencial si queremos progresar en matemáticas.
Por lo que, antes de empezar a hacer una ecuación de matemáticas, tienes que conocer la definición.
Según la RAE, una ecuación es «Igualdad que contiene una o más incógnitas». En esta primera definición, más bien generalista, el término de incógnita aparece. Este elemento no desaparecerá hasta la resolución de la ecuación.
Desde un enfoque más matemático, el CNTRL (centro nacional de recursos textuales y léxicos) define una ecuación como «una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que contiene una o varias incógnitas y puede comprobarse dando uno o varios valores a estas incógnitas»
Sin embargo, si esta definición tampoco te convence, aquí te presentamos otra definición obtenida de una clase de matemáticas de 4º de ESO que dice: «una ecuación es una igualdad que contiene una variable (normalmente denominada X), que sirve para resolver problemas.»
Estos son los elementos que tienes que entender para resolver la ecuación:
Se trata de una igualdad entre dos expresiones algebraicas
hay que despejar una o varias incógnitas
una de las variables se denomina «x»
son útiles para la resolución de problemas
A la hora de resolver (y factorizar) una ecuación nos da lo mismo que se trate de una ecuación de segundo grado, de una ecuación con una sola incógnita o de una ecuación diferencial.
Factores a tener en cuenta en la resolución de ecuaciones
Para conseguir resolver una ecuación son varios los factores a tener en cuenta relativos al aprendizaje de las matemáticas y al famoso «espíritu matemático» que tenemos que ir adquiriendo a lo largo de nuestra etapa escolar.
Espíritu matemático
Esa aprehensión que sienten tantos y tantos estudiantes hacia esta asignatura está motivada en parte, a que son muchos los que no ven la utilidad de las matemáticas en la vida real.
Aunque no nos demos cuenta, las matemáticas forman parte de nuestro día a día.
Ya sea cocinando, comprando una casa o en ese momento en el que hacemos la compra o las cuentas; las matemáticas están omnipresentes en nuestras vidas.
Tanto tu profesor de matemáticas del colegio como otro profesor particular, te proporcionarán todas las competencias necesarias que te servirán cada día en esta asignatura.
Propias del espíritu matemático, éstas son indispensables para, entre otras cosas, resolver ecuaciones sin cometer errores.
La rigurosidad.
Cuando estamos haciendo matemáticas hay que ser rigurosos y aún más cuando se trata de las ecuaciones. Cuando estemos ante un ejercicio de matemáticas o frente a un examen, hay que ser precisos y razonar con lógica.
La memoria
Las matemáticas te van a hacer trabajar tu memoria. Trabajando regularmente, serás capaz de relacionar los conceptos de tus clases de matemáticas y aplicarlos para así, conseguir resolver la ecuación propuesta. De esta forma, también serás capaz de acordarte de otras ecuaciones ya resueltas que se parezcan a la que tengas que resolver.
La organización
Para resolver una ecuación hay que ir paso a paso. La organización, dentro del marco del entorno de trabajo, te permitirá afrontar el ejercicio con cierta calma. No tienes que precipitarte.
Resolver una ecuación de primer grado
Las ecuaciones de primer grado se consideran las ecuaciones más fáciles de resolver. Así es, encontrar la solución de una ecuación de primer grado solo implica cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división.
Si tienes que resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, vuestro objetivo es sencillo: solo tienes que encontrar el valor de x (la famosa incógnita).
Es muy importante saber se necesitan dos ecuaciones para resolver una ecuación de dos incógnitas. Es por esto que siempre que te pidan resolver una ecuación con dos incógnitas te van a dar no una, sino dos ecuaciones. Sin más preámbulo vamos al método.
A continuación resolveremos el siguiente par de ecuaciones paso por paso para que entiendas el método que debes seguir.
2x+5y=17
3x+4y=15
PASO 1
Multiplica la ecuación de arriba por el número que está junto a la x con el signo contrario. También multiplica la ecuación de abajo por el número que se encuentra junto a la x, pero sin cambiar el signo.
Fíjate en el ejemplo:
−3(2x+5y=17)
2(3x+4y=15)
Al realizar la multiplicación, obtenemos este resultado:
−6x−15y=−51
6x+8y=30
PASO 2
Suma o resta (según sea el caso) las x con las x, las y con las y, y los números que no tengan letras.
Escribe el resultado debajo de cada pareja, de la siguiente forma:
−6x−15y=−51
6x+8y=30
0x−7y=−21
Como la x está multiplicada por un cero, se puede eliminar para que sólo te quede una ecuación con una incógnita muy fácil de resolver.
−7y=−21
PASO 3
Resuelve la ecuación obtenida en el Paso 2, “pasando” el -7 del otro lado, de modo que aparezca como una división (recuerda no cambiar el signo del -7).
−7y=−21
y=−21/−7
Solamente realiza la división y listo, obtendrás el valor de y.
y=3
PASO 4
Ya nada más nos falta conocer el valor de x. Para conocerlo realizamos los mismos pasos, solo que, en vez de tomar los números que están junto a la x, tomamos los que están junto a la y.
Multiplicamos por los números que están junto a la y y cambiamos el signo del que multiplica a la ecuación de arriba.
−4(2x+5y=17)
5(3x+4y=15)
Lo que nos da:
−8x−20y=−68
15x+20y=75
Ahora sumamos o restamos según el caso:
−8x−20y=−68
15x+20y=75
7x+0y=7
Eliminamos la y, ya que esta se encuentra multiplicando por 0.
7x=7
Resolvemos la ecuación “pasando” el 7 como dividendo:
x=7/7
Solucionamos la división y obtenemos el valor de x
x=1
¡Listo!Terminamos el ejercicio, la solución es x=1 y y=3.
SEMANA 03 AL 07 DE AGOSTO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
EJERCICIOS CON LENGUAJE ALGEBRAICO
Para resolver los problemas de ecuaciones debemos:
Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar.
Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problemas de ecuaciones que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.
Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.
Para plantear la ecuación volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.
El siguiente paso es resolver la ecuación.
Por último y muy importante, es interpretar la solución.
Siempre, siempre, debemos comprobar que nuestra solución es acorde a lo expuesto. La traducción que hemos hecho de nuestros problemas de ecuaciones debe ser lógica y exacta.
Algunos trucos que nos servirán de ayuda:
Un número cualquiera = x ( Por ejemplo, si x=1, x=2, x=4,…)
Número consecutivos = x, x+1, x+2 …. ( si x= 1, x+1= 2, x+2= 3)
Números pares = 2x (si x=1, 2.1= 2, si x=2, 2.2=4, si x=3, 2.3=6)
Números impares = 2x-1 ( si x= 2, 2.2-1= 3, si x=3, 3.2-1=5)
La mitad de un número = x/2 ( si x= 1, ½, si x= 2, 2/2= 1)
La tercera parte de un número = x/3
Tres hermanos se reparten 1300$. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?
Planteamiento: Hermano mayor: 2 (4x) (doble que el mediano) Hermano mediano: 4x (4 veces lo del pequeño) Hermano pequeño: x (llamamos “x” a lo que recibe el pequeño)
En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Planteamiento:
Base: x+18 (mide 18 cm más que la altura)
Altura: x (desconocemos la longitud de la altura)
X X+18
Ecuación:“el perímetro mide 76 cm” (suma de sus lados)
x+x+(x+18)+(x+18)=76
Resolución:
x+x+(x+18)+(x+18)=76 4x=76-18-18 4x=40 x=40/4= 10
Solución:
Base: x+18 = 28 cm
Altura: x = 10 cm
10 cm 28 cm
El perímetro es la suma de sus lados, 28+28+10+10 = 76 cm
Lista de problemas de ecuaciones a continuación:
Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.
Halla los números que sumados con su anterior y con su siguiente sea 114.
Calcula el número que se triplica al sumarle 26.
La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número?
¿Qué edades tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
SEMANA 27 AL 31 DE JULIO
LENGUAJE ALGEBRAICO
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades. EL lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de AL-Khwarizimi durante la edad media. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (+ -x %).
Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones aritméticas. El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a una potencia. El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.
Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas mas usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números
a + b
La resta o diferencia de dos números
X – y
El producto de dos números
ab
El cociente de dos números
X/y
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
a+b/a-b
El doble de un número
2X
El doble de la suma de dos números
2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números
3(x-y)
La mitad de un número
X/2
La mitad de la diferencia de dos números
(x-4)/2
El cuadrado de un número
El cuadrado de la suma de dos números
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
La suma de 3 números
A+b+c
La semi suma de dos números.
(a+b)/2
SEMANA 20 AL 24 DE JULIO
TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«.
Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.
Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Como ejemplo podéis ver esta pequeña animación de tan solo un minuto en la que se muestran seis demostraciones geométricas, o esta otra con piezas de lego.
Vamos a ver una aplicación práctica del Teorema de Pitágoras para calcular un lado desconocido en un triángulo rectángulo.
Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable?
Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:
Es decir, el cable debe medir 13 metros.
Antes de seguir, quiero dejar claro que, la ecuación de segundo grado incompleta anterior tendría dos posibles soluciones, 13 y -13, pero al tratarse de longitudes, no tiene sentido el resultado negativo, por lo que solo he tenido en cuenta directamente el positivo. Esto es algo que haremos siempre al utilizar el Teorema de Pitágoras.
Veamos otro ejemplo donde lo que queramos calcular no sea la hipotenusa si no uno de los dos catetos.
Una escalera de 2,5 metros de longitud está apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de dicha pared, ¿a qué altura llega la parte superior de la escalera?
Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta en la pared medida desde el suelo, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando h a la altura que alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
La escalera llega a una altura de 2,45 metros.
En los dos ejemplos que hemos visto hasta ahora formamos directamente un triángulo rectángulo, pero en muchas ocasiones la figura inicial es otra, y la construcción del triángulo rectángulo la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta.
En el siguiente ejemplo tenemos un trapecio y vamos a utilizar un triángulo rectángulo para calcular uno de sus lados:
Calcula el perímetro del siguiente trapecio rectángulo:
El perímetro del trapecio es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados. Para calcularlo necesitamos primero calcular la longitud del lado inclinado, que desconocemos.
Llamando x al lado desconocido, podemos considerar el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura:
Tenemos, por tanto, un triángulo rectángulo de hipotenusa x y catetos de 15 y 10 cm. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
El lado del trapecio que nos faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que el perímetro será:
El perímetro del trapecio es de 83,03 cm.
Por último, os voy a poner un ejemplo de la otra posible aplicación que os comentaba al comienzo que tiene el teorema de Pitágoras: comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si es un triángulo rectángulo o no.
Comprueba si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos:
a) 25 cm, 24 cm, 7 cm.
b) 12 cm, 15 cm, 4 cm.
Vamos con el primero.
Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir que el cuadrado del mayor de los tres segmentos sea igual a la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos.
El cuadrado del segmento de mayor longitud (el segmento de 25 cm) es:
Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:
Como podemos observar, se cumple el Teorema de Pitágoras y, por tanto, podemos afirmar que los segmentos de 25 cm, 24 cm y 7 cm forman un triángulo rectángulo.
Veamos ahora el segundo:
El cuadrado del segmento de mayor longitud, que en este caso es el segmento de 15 cm, es:
Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:
No son iguales, por lo que no se cumple el Teorema de Pitágoras y, en consecuencia, el triángulo que forman los segmentos de 12 cm, 15 cm y 4 cm no es rectángulo.
De hecho podemos afirmar que dichos segmentos forman un triángulo obtusángulo (tiene uno de sus ángulos obtusos, es decir, mayor de 90 grados).
¿Por qué lo se?
Es muy sencillo. Se cumple siempre que:
Si el cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata de un triángulo obtusángulo (triángulo con un ángulo obtuso, mayor de 90 grados).
Si el cuadrado del lado de mayor longitud es igual que la suma de los cuadrados de los otros dos lados es un triángulo rectángulo (es lo que dice el Teorema de Pitágoras).
Y, si el cuadrado del lado de mayor longitud es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata entonces de un triángulo acutángulo (triángulo con los tres ángulos agudos, menores de 90 grados).
Espero que todo esto que os he contado os haya gustado y os sea útil.
RECUERDA: El Teorema de Pitágoras solo se cumpleen triángulos rectángulos, así que si el triángulo no es rectángulo no lo podemos utilizar.
SEMANA 13 DE JULIO AL 17 DE JULIO
MEDIDAS DE CAPACIDAD
La capacidad mide la cantidad de líquido que cabe dentro de un objeto. Por ejemplo, la capacidad de una botella es la cantidad de líquido con la que podemos llenarla. Otra forma de llamar a la capacidad es volumen. Digamos que la capacidad es el volumen que ocupa un cuerpo en el espacio.
La unidad principal para medir la capacidad de un objeto es el litro. Pero no es la única que tenemos. Están los múltiplos, que son las unidades para expresas capacidades más grandes que el litro y los submúltiplos, que son las unidades para expresas capacidades más pequeñas.
Podemos ver las unidades de capacidad en la siguiente tabla:
Hay muchas más medidas de capacidad pero estas son las más utilizadas:
kilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
Os muestro más ejemplos de medidas de capacidad:
Una piscina olímpica son unos 2500 kilolitros.
Una bañera son unos 2 hectolitros.
Un barril son unos 2 hectolitros.
Una botella tiene la capacidad aproximada de 1 litro.
Un tubo de pasta de dientes es aproximadamente 1 decilitro.
Una cucharada es aproximadamente 1 centilitro.
La unidad principal para medir capacidades es el litro.
También existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores:
Medida
Símbolo
Equivalencia
Kilolitro
Kl
1000 l
Hectolitro
hl
100 l
Decalitro
dal
10 l
Litro
l
1 l
Decilitro
dl
0.1 l
Centilitro
cl
0.01 l
Mililitro
ml
0.001 l
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplos:
Ejemplos de conversión de medidas
1 Pasar 50 hectolitros a centilitros:
Tenemos que multiplicar (porque el hectolitro es mayor que el centilitro) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos.
50 · 10 000 = 500 000 cl
2 Pasar 2587 centilitros a litros:
Tenemos que dividir (porque el centilitro es menor que el litro) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.
2587 l : 100 = 25.87 l
3 Expresar en litros:
1 3 l + 5 hl + 7 dal = 3 · 1000 l + 5 · 100 l + 7 · 10 l =
= 3000 l + 500 l + 70 l = 3570 l
2 7 l + 4 cl + 3 ml = 7 l + 4 : 100 l + 3 : 1000 l
= 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l
3 25.56 dal + 526.9 dl = 25.56 · 10 l + 526.9 : 10 l
= 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l
4 53600 ml + 9830 cl = 53600 : 1000 l + 9830 : 100 l
= 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l
5 1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl = 1.83 l · 100 + 9.7 · 10 l + 3700 : 100 l
= 183 l + 97 l + 37 l = 317 l
SEMANA 06 DE JULIO AL 10 DE JULIO
TRANSFORMACIONES DE UNIDADES DE LONGITUD
Las medidas de longitud se emplean para medir la distancia existente entre dos puntos, como puede ser el largo de una figura, o su ancho.
La longitud se puede medir de forma aproximada o estimada.
Para medir longitudes, podemos hacerlo bien con sistemas de medida no convencionales como pie, mano, cuaderno, palo,
o con los sistemas convencionales como cinta métrica o regla.
Dentro de estos últimos tenemos el sistema métrico decimal, que es un sistema regular en el que los cambios se realizan de diez en diez en las magnitudes lineales (ya que nuestro sistema de numeración es de base diez).
Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal e invariable.
Abreviadamente se expresa así:
El Sistema Métrico Decimal incluye al metro y a sus múltiplos y submúltiplos (que son medidas mayores y menores que el metro), ya que a veces necesitamos medir distancias largas como una carretera, y otras ocasiones distancias cortas como una aguja.
En la siguiente imagen puedes apreciar los múltiplos y submúltiplos del metro, sus nombres y abreviaturas; y su posición y valor con relación al metro
En ocasiones el hectómetro se abrevia como Hm y el decámetro como Dm.
Como puedes observar, cada unidad de longitud es 10 veces mayor (la de la izquierda) que la inmediata inferior (la de la derecha).
Los submúltiplos del metro se utilizan para medir objetos más pequeños que el metro. Son los siguientes:
El decímetro (dm): Se obtiene al dividir el metro en diez partes iguales. 1 metro es igual a 10 decímetros
El centímetro (cm): Se obtiene al dividir el decímetro en diez partes iguales. 1 metro es igual a 100 centímetros
El milímetro (mm): Se obtiene al dividir el centímetro en diez partes iguales. 1 metro es igual a 1000 milímetros
Los múltiplos del metro se utilizan para medir objetos más grandes que el metro. Son los siguientes:
El decámetro (dam): Se obtiene al unir diez metros
El hectómetro (hm): Se obtiene al unir diez decámetros o cien metros
El kilómetro (km): Se obtiene al unir diez hectómetros cien decámetros o mil metros
Cambio de una medida a otra (conversión)
Para pasar de una unidad mayor a otra inferior, multiplicaremos por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas, ya que tenemos que ir partiendo cada unidad mayor en diez más pequeñas
Ejemplo: Convertir 8 decámetros (dam) a centímetros (cm)
En este ejemplo puedes ver que de decámetros (dam) a centímetros (cm) hay 3 distancias: una de decámetros (dam) a metros (m), otra de metros(m) a decímetros (dm) y otra de decímetros (dm) a centímetros (cm).
Por ello tendrás que multiplicar 8 por la unidad (1) seguida de tres ceros, es decir por 1000.
Por lo que 8 dam = 8,000 cm
Para pasar de una unidad menor a otra superior, dividiremos por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas, ya que tenemos que ir uniendo unidades menores de diez en diez para formar una mayor.
Ejemplo. Convertir 90 metros a kilómetros
En este ejemplo puedes ver que de metros a kilómetros hay 3 distancias: una de metros (m) a decámetros (dam), otra de decámetros (dam) a hectómetros (hm) y otra de hectómetros (hm) a kilómetros (km).
Por ello tendrás que dividir 90 por la unidad (1) seguida de tres ceros, es decir por 1000.
Por lo que 90m = 0.090 km
Puedes utilizar la escalera de medidas para hacer las conversiones. Si la medida se convierte de una menor a una mayor, se divide; si se cambia de medida mayor a menor, se multiplica. La escalera es la siguiente:
Veamos los ejemplos:
El uso de la escalera puede resultar tedioso para hacer tu conversión, por ello puedes utilizar una tabla y hacerlo por el método abreviado, que consiste en correr el punto decimala la izquierda (si cambias una medida menor a otra mayor), tantos lugares como haya de separación entre medida y medida; o correr el punto decimala la derecha (si cambias una medida mayor a otra menor). Recuerda que cuando un número no tiene punto decimal es porque es entero y el punto está a la derecha del número. También cuando ya no hay cifras para seguir recorriendo el punto, los lugares se completan con ceros.
Veamos los ejemplos.
Convertir 8 decámetros (dam) a centímetros (cm)
Convertir 90 metros a kilómetros
Si queremos convertir una cantidad compleja (que contiene unidades distintas) en otra pedida, lo primero que haremos será convertir cada una de las unidades a la unidad pedida y después, cuando estén todas en la unidad pedida, las sumamos.
Ejemplo: Convertir 2 dam, 1.5 m, 5 dm 34 cm a mm
Hay otras medidas de longitud para medir grandes distancias como el miriámetro (mam), que equivale a 10,000 metros, año_luz, que equivale a 9 461,000 000,000 metros; y la micra que equivale a 0.000001 m (una millonésima parte del metro) para medir distancias microscópicas
SEMANA 30 DE JUNIO AL 03 DE JULIO
MEDIA, MEDIANA Y MODO
La media de un conjunto de datos
La media de un conjunto de números, algunas ocasiones simplemente llamda el promedio , es la suma de los datos dividida entre el número total de datos.
Ejemplo :
Encuentre la media del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}.
Hay 8 números en el conjunto. Súmelos, y luego divida entre 8.
= 6.75
Así, la media es 6.75.
La mediana de un conjunto de datos
La mediana de un conjunto de números es el número medio en el conjunto (después que los números han sido arreglados del menor al mayor) -- o, si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos números medios.
Ejemplo 1 :
Encuentre la mediana del conjunto {2, 5, 8, 11, 16, 21, 30}.
Hay 7 números en el conjunto, y estos están acomodados en orden ascendente. El número medio (el cuarto en la lista) es 11. Así, la mediana es 11.
Ejemplo 2 :
Encuentre la mediana del conjunto {3, 10, 36, 255, 79, 24, 5, 8}.
Primero, arregle los números en orden ascendente.
{3, 5, 8, 10, 24, 36, 79, 255}
Hay 8 números en el conjunto -- un número par. Así, encuentre el promedio de los dos números medios, 10 y 24.
(10 + 24)/2 = 34/2 = 17
Así, la mediana es 17.
La moda de un conjunto de datos
La moda de un conjunto de números es el número que aparece más a menudo.
Ejemplo 1 :
Encuentre la moda del conjunto {2, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 12}.
El 2, 3, 7, 10 y 12 aparecen una vez cada uno.
El 5 aparece dos veces y el 9 aparece tres veces.
Así, el 9 es la moda.
Ejemplo 2 :
Encuentre la moda del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}.
En este caso, hay dos modas -- el 5 y el 8 ambos aparecen dos veces, mientras que los otros números solo aparecen una vez.
SEMANA 22 AL 26 DE JUNIO
INTERÉS SIMPLE
¿Qué es el interés simple?
El interés simple es aquél interés que se produce al invertir o prestar una cantidad de dinero durante un periodo de tiempo.
En las operaciones de interés simple, el capital inicial permanece constante durante todo el tiempo que dura la inversión o préstamo. Por lo que, al contrario que pasa con el interés compuesto, dicho interés no se acumula al capital inicial, siendo el interés que se genera o paga en todos los periodos iguales, mientras que la tasa de interés y el plazo no varíen.
Este tipo de interés se aplica generalmente a los préstamos a corto plazo (un año o menos), que son administrados por las empresas financieras. Se aplica de la misma forma para el dinero invertido en un corto período de tiempo.
El interés simple se utiliza en la capitalización simple para calcular el capital en un momento posterior al de la inversión.
¿Cuál es la fórmula del interés simple?
La tasa de interés simple se expresa normalmente como un porcentaje. Desempeña un papel importante en la determinación de la cantidad de intereses sobre un préstamo o inversión.
La cantidad de interés que se paga o cobra depende de tres factores importantes:el capital, la tasa y el tiempo.
La fórmula del interés simple es:
El capital inicial (C), es la cantidad de dinero que se invierte o se presta. Este también es conocido por «principal» o «valor actual», y representa la base sobre la cual se genera el interés.
La tasa de interés (i), es la cantidad de interés expresado en tanto por ciento por unidad de tiempo. La tasa de interés se expresa generalmente en año, aunque puede expresarse en semanas, quincenas, meses, bimestres…
El tiempo (t), es el lapso transcurrido entre el momento de la inversión o préstamo y el retiro o pago. El tiempo puede estar expresado en cualquier unidad, sin embargo, para efectos de cálculo, se debe establecer en las mismas unidades de tiempo que la tasa de interés. Pudiendo diferenciar entre:
El tiempo efectivo, se calcula considerando que los meses tienen 30 o 31 días y que el año tiene 365 o 366 días de acuerdo con el calendario. Esta forma de considerar el tiempo la utilizan los bancos con los préstamos o inversiones a corto plazo.
El tiempo comercial, se calcula considerando que todos los meses tienen 30 días y el año 360 días, se utilizan en operaciones de más de un año y en operaciones de menor tiempo cuando no se conocen las fechas exactas, tanto de inicio como de final.
Recuerda que el tiempo se debe expresar en las mismas unidades que la tasa de interés.
¿Cómo se calcula el capital final en interés simple?
Cuando al capital inicial le sumamos el interés generado de la operación obtenemos el capital final o monto.
¿Cuál es el capital final de 125.000€ que generan unos intereses de 105.000€ después de 3 años?
Identificamos los datos:
C = 125.000€
I = 105.000€
t = 3 años
Cn?
Sustituimos los datos en la fórmula para calcular el capital final.
Cn = 125.000 + 105.000 = 230.000€
El capital final que se obtiene al invertir 125.000€ durante 3 años generando unos intereses de 105.000€ son 230.000€.
¿Cómo se calcula el tiempo en interés simple?
Con frecuencia necesitamos saber cuanto tiempo tiene que estar un dinero invertido para que produzca un determinado interés.
¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que una inversión de 175.000€ produzca un interés de 35.000€ a una tasa de 6% de interés simple?
Identificamos los datos:
C = 175.000€
I = 35.000€
i = 6%
Sustituyendo en la fórmula
t = 35.000 / (175.000 · 6%) = 3,33 años
¿Cómo se calcula la tasa de interés en interés simple?
Al igual que ocurre con el tiempo, en ocasiones necesitamos saber la tasa ala que debemos imponer un cierto capital, para que al final de un periodo consigamos un determinado capital final o unos intereses determinados.
¿A qué tasa de interés simple anual se invierten 190.000€ durante 2 años y 9 meses para que se conviertan en 215.000€?
Identificamos los datos:
C = 190.000€
Cn = 215.000€
t = 2 años y 9 meses que son 2,75 años
Antes de sustituir los datos en la fórmula nos falta saber cuanto es el Interés generado, y como sabemos el Interés se puede calcular a través de la fórmula I = C · i · t y a través de I = Cn – C
Al no tener la tasa de interés vamos a utilizar la segunda fórmula para calcular el Interés. I = 215.000 – 190.000 = 25.000€.
Ahora si podemos sustituir los datos en la fórmula de la tasa de interés.
i = 25.000 / (190.000 · 2,75) = 0,0478
Tenemos que invertir los 190.000€ durante 2 años y 9 meses a una tasa de interés del 4,78% para conseguir que se conviertan en 215.000€.
¿Cómo se calcula el capital inicial o valor presente en interés simple?
Para calcular el capital inicial de una inversión o un préstamo cuando no sabemos su importe, utilizamos la siguiente fórmula.
¿Cuál es el capital inicial que tengo que invertir para que transcurridos 90 días con una tasa de interés simple del 36% anual consiga unos intereses de 65.000€?
Identificamos los datos:
t = 90 días = 90/360 = 0,25 años
i = 36% anual
I = 65.000€
Sustituimos los datos en la fórmula
C = 65.000 / (0,25 · 0,36) = 722.222,22€
Si queremos recibir unos intereses de 65.000€ en una inversión que dura 90 días con una tasa de interés del 36% anual, tenemos que invertir 722.222,22€.
Otras fórmulas del interés simple
Como hemos visto antes, a partir de la fórmula del interés simple podemos calcular otros factores, como el tiempo, el capital invertido, la tasa de interés o el capital final, simplemente despejando cada incógnita.
Os dejo aquí un cuadro resumen de las fórmulas que hemos visto hasta ahora del interés simple. Usamos una u otros fórmula en función de los datos de los que dispongamos y de lo que queramos calcular.
Fórmula del interés simple en días meses y años. Equivalencias fórmula del interés simple
A veces nos encontramos que la tasa de interés y la duración no están expresados en la misma unidad de tiempo, por lo que con las siguientes fórmulas puedes pasar fácilmente de una unidad de tiempo a otra de forma rápida. Simplemente tenemos que convertir la tasa de interés a la misma unidad de tiempo.
I = C · (i / 100) · t si t son años
I = C · (i / 200) · t si t son semestres
I = C · (i / 1200) · t si t son meses
I = C · (i / 400) · t si t son trimestres
I = C · (i / 36000) · t si t son días
I = C · (i / 600) · t si t son bimestres
También puedes hacer que el tiempo se exprese en la misma unidad que la tasa de interés, todo depende de lo que necesites saber. Por ejemplo si la inversión tiene una duración de 90 días y la tasa de interés es de 36% anual, y tú lo que quieres saber es cuál sería la tasa de interés por días, utilizas una de las fórmulas que te he dejado arriba. Si por el contrario te da igual cuál sería la tasa de interés por día porque tú solo quieres saber el Interés que te va a generar esa inversión, pues es más fácil si conviertes los 90 días en años, simplemente dividiendo los 90 días entre 360 días.
Ejercicios de interés simple
Ana tiene que pedir un préstamo de 2.000€ a una entidad financiera. Para ello pregunta en dos bancos y le dan las siguientes condiciones:
El banco «A» le concede el préstamo de 2.000€, si al finalizar el año devuelve 2.200€.
El banco «B» le ofrece los 2.000€ durante 1 año a una tasa de interés anual del 7%.
Antes de analizar cada uno de los bancos vamos a repasar los términos más importantes en interés simple.
El Capital es el importe prestado o invertido. En este caso el Capital del préstamo es de 2.000€.
Normalmente, el tipo de interés está expresado en años, en cuyo caso recibe el nombre de tasa de interés anual. Por ejemplo, si pedimos prestado 100€ a una tasa anual del 5%, significa que se cargará el 5% de 100€ al final del año, o 5€.
El período de préstamo o la duración es el tiempo que el monto de capital está prestado o invertido. Por lo general el tiempo se expresa en años, pero también pueden ser meses o incluso días. En estos casos es necesario realizar una conversión de un periodo determinado, meses o días, en años.
La fórmula de interés simple, nos permite calcular I, que es el interés ganado o pagado de un préstamo. Según esta fórmula, la cantidad de interés está dada por I = C·i·t , donde C es el capital, i es la tasa de interés anual en forma decimal, y t es el período de tiempo expresado en años.
Ahora que hemos visto la fórmula del interés simple, vamos a analizar la opciones de Ana:
¿Cuál es el banco que tiene mejores condiciones para Ana?
Las condiciones del banco «B» son:
Capital prestado C = 2.000€
Tasa anual 7%
Tiempo 1 año
Ahora vamos a calcular que cantidad de interés debe pagar Ana si acepta esta opción:
Si Ana acepta las condiciones del banco «B», el interés que tendrá que pagar es de 140€.
Así que , ¿cuánto dinero tiene que pagar Ana al banco para pagar su deuda ?
Ella tendría que devolver el dinero que pidió prestado , o el capital , que son 2.000€, y además tendría que pagar al banco el interés calculado, en la que I =140€ . Por lo tanto , devolverá al banco 2000 + 140, lo que equivale a 2.140€ .
Como vemos las condiciones del banco «B» son mas favorable para Ana, ya que solo le tendría que devolver al banco 2.140€, frente a los 2.200€ que le pide el banco «A».
Si buscas más ejercicios de interés simple aquí tienes un recopilatorio
Ejercicios del cálculo de interés en capitalización simple ( o interés simple)
Hallar el interés que produce en 4 años un capital de 10.000€ prestado al 9% simple anual.
Calcular el interés de un capital de 12.000€ colocados al 10% anual durante 9 meses.
Calcular en qué se convierte, un capital de 20.000€ al 3.5€ anual durante 8 meses
Ana tiene 5.000€ en una cuenta bancaria. Le dan un interés del 3.2%, ¿Cuánto dinero tendrá dentro de 2 meses y 10 días. ( todos los meses tienen 30 días).
Calcular 75.000€ invertido al 4% anual durante:
3 años
20 meses
500 días
Intenta resolver los ejercicios antes de ver las respuestas, te serán más útiles.
Respuesta ejercicio 1:
Capital inicial 10.000€ Interés 9% (= 0.09) simple anual Tiempo 4 años Aplicando la fórmula del interés tenemos que:
Es decir, 10.000€ en 4 años al 9% simple anual producen 3.600€ de interés.
Respuesta ejercicio 2:
Capital inicial 12.000€ Interés 10% (=0.10) simple anual Tiempo 9 meses Primero vamos a expresas el tiempo en años, así 9 meses entre 12 meses que tiene un año, nos da 0.75
Y ahora con nuestra expresión del Interés:
I = 12.000 · 0.10 ·0.75 = 900€
Respuesta ejercicio 3:
Capital inicial 20.000 Interés 3.5% simple anual Tiempo 8 meses I = 20.000 · 0.035 · 8/12 = 466.67€
20.000€ durante 8 meses al 3.5% se convierten en 20.000+466.67 = 20466.67€
Respuesta ejercicio 4:
Capital inicial 5.000€ Interés 3.2% simple anual Tiempo 2 meses y 10 días Primero pasamos los meses en días y después lo pasamos a años.
2 meses · 30 días = 60 días +10 días = 70 días / 360 = 0.1944
I = 5.000 · 0.032 · 0.1944 = 31,10€
Ana tendría 5.000€ + 31,10€= 5031,10€
Respuesta ejercicio 5:
1. I = 75.000 · 0,04 · 3 = 9.000€
Cn = 75.000 + 9.000 = 84.000€
2. I = 75.000 · (4/1200) · 20 = 5.000
Cn = 75.000 + 5.000 = 80.000€
3. I = 75.000 · (4/36.000) · 500 = 4.166,67
Cn = 75.000 + 4.166,67 = 79.166,67€
SEMANA 15 AL 19 DE JUNIO
PORCENTAJE
El porcentaje es, realmente, un símbolo.
Un símbolo que representa una fracción de denominador 100. Así, en el lenguaje escrito, es mucho más sencillo escribir el porcentaje que la fracción:
Este símbolo (%) se lee como “por ciento” e indica, como hemos dicho, el número de partes en que la unidad, o cantidad de referencia, ha sido dividida. Es decir, el porcentaje (%) siempre aparece en una expresión que relaciona dos cantidades.
El porcentaje es un símbolo matemático que representa una cantidad dada, como una fracción de 100 partes iguales. Se utiliza para establecer relaciones entre dos cantidades y se establece colocando el símbolo “%”, que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. Calcular un porcentaje es sencillo, e incluso hay varias maneras.
Fórmula para sacar un porcentaje
Para determinar el porcentaje de un número hay que seguir los siguientes pasos básicos:
1- Multiplicar el número por el porcentaje. Por ejemplo, si quiero saber el 32 % de 517, debo multiplicar ambas cifras (Ej: 32 x 517 = 16544).
2- Luego hay que dividir el resultado por 100. Se hace simplemente moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda (Ej: 16544/100=165,44).
3- Se redondea a la precisión deseada (Ej: 165,44 redondeado al número entero más próximo, 165). Es decir, el 32 % de 517 es 165.
También se puede realizar el cálculo de porcentaje de estas otras dos maneras:
32 / 100 x 517= 165,44
517 / 100 x 32= 165,44
Cómo sacar un porcentaje con calculadora
Por ejemplo, si se quiere obtener el 20 % de 5684, primero debe escribirse esa cantidad: 5684.
Luego se multiplica por 20, que en este caso es el porcentaje que se necesita calcular. Y a continuación se presiona la tecla %. Esta función entrega el resultado en forma directa. En este caso, 1136,8 es el 20 % de 5684.
También se puede usar la función porcentaje (%) de la calculadora combinada en sumas o restas para calcular directamente aumentos o descuentos.
Primero se escribe el número (en este caso 4456), luego se suma por el porcentaje (15) y se presiona la tecla %. Ahí muchas calculadoras indican la cifra parcial del 15 % de aumento; y al presionar el igual (=) dan el resultado con el incremento incluido (5124,4). Otras dan el resultado final directamente. Lo mismo ocurre con una resta.
Ejercicios de porcentaje
Uno de los ejercicios más frecuentes es cuando debemos sumar el Impuesto al Valor Agregado (IVA) a algún producto o servicio porque inicialmente el importe figura desagregado. El IVA para consumidor final es del 21%.
Entonces, si se debe pagar un servicio de $ 3966 + IVA, hay que calcular cuánto es el 21% de 3966.
De acuerdo a los distintos cálculos manuales, la manera más práctica de calcular el porcentaje sería:
3966 / 100 x 21 = 832,86
Si se realiza con calculadora, directamente se puede escribir el resultado de la división corriendo el decimal dos lugares hacia la izquierda: 39,66, entonces se hace un solo paso: 39,66 x 21.
SEMANA 08 AL 12 DE JUNIO
PORCENTAJE
El porcentaje es, realmente, un símbolo.
Un símbolo que representa una fracción de denominador 100. Así, en el lenguaje escrito, es mucho más sencillo escribir el porcentaje que la fracción:
Este símbolo (%) se lee como “por ciento” e indica, como hemos dicho, el número de partes en que la unidad, o cantidad de referencia, ha sido dividida. Es decir, el porcentaje (%) siempre aparece en una expresión que relaciona dos cantidades.
El porcentaje es un símbolo matemático que representa una cantidad dada, como una fracción de 100 partes iguales. Se utiliza para establecer relaciones entre dos cantidades y se establece colocando el símbolo “%”, que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. Calcular un porcentaje es sencillo, e incluso hay varias maneras.
Fórmula para sacar un porcentaje
Para determinar el porcentaje de un número hay que seguir los siguientes pasos básicos:
1- Multiplicar el número por el porcentaje. Por ejemplo, si quiero saber el 32 % de 517, debo multiplicar ambas cifras (Ej: 32 x 517 = 16544).
2- Luego hay que dividir el resultado por 100. Se hace simplemente moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda (Ej: 16544/100=165,44).
3- Se redondea a la precisión deseada (Ej: 165,44 redondeado al número entero más próximo, 165). Es decir, el 32 % de 517 es 165.
También se puede realizar el cálculo de porcentaje de estas otras dos maneras:
32 / 100 x 517= 165,44
517 / 100 x 32= 165,44
Cómo sacar un porcentaje con calculadora
Por ejemplo, si se quiere obtener el 20 % de 5684, primero debe escribirse esa cantidad: 5684.
Luego se multiplica por 20, que en este caso es el porcentaje que se necesita calcular. Y a continuación se presiona la tecla %. Esta función entrega el resultado en forma directa. En este caso, 1136,8 es el 20 % de 5684.
También se puede usar la función porcentaje (%) de la calculadora combinada en sumas o restas para calcular directamente aumentos o descuentos.
Primero se escribe el número (en este caso 4456), luego se suma por el porcentaje (15) y se presiona la tecla %. Ahí muchas calculadoras indican la cifra parcial del 15 % de aumento; y al presionar el igual (=) dan el resultado con el incremento incluido (5124,4). Otras dan el resultado final directamente. Lo mismo ocurre con una resta.
Ejercicios de porcentaje
Uno de los ejercicios más frecuentes es cuando debemos sumar el Impuesto al Valor Agregado (IVA) a algún producto o servicio porque inicialmente el importe figura desagregado. El IVA para consumidor final es del 21%.
Entonces, si se debe pagar un servicio de $ 3966 + IVA, hay que calcular cuánto es el 21% de 3966.
De acuerdo a los distintos cálculos manuales, la manera más práctica de calcular el porcentaje sería:
3966 / 100 x 21 = 832,86
Si se realiza con calculadora, directamente se puede escribir el resultado de la división corriendo el decimal dos lugares hacia la izquierda: 39,66, entonces se hace un solo paso: 39,66 x 21.
SEMANA 01 AL 05 DE JUNIO
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Definición de proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número. Igualmente, dos magnitudes son directamente proporcionales si, al dividir una por cualquier número, entonces la otra queda dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
Otra manera de determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales es por medio de su cociente. El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales siempre es constante.
Ejemplos de problemas de proporcionalidad directa
Ahora, veamos algunos ejemplos de cantidades directamente proporcionales:
1 El peso de un producto y su precio son dos magnitudes directamente proporcionales.
Observemos que si kg de tomates cuesta , entonces:
kg de tomates costará
kg de tomates costará ( céntimos)
Es decir, por más kilogramos de tomate se pagarán más euros. Asimismo, por menos kilogramos de tomate se pagará menos euros. Notemos, además, que dividir el peso entre el precio siempre nos da como cociente.
2 Otros ejemplos de magnitudes directamente proporcionales son:
La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado en recorrer esa distancia —recorrer el doble de distancia implica emplear el doble de tiempo—.
El volumen de un cuerpo y su peso —un cuerpo con doble de volumen pesará el doble, siempre que esté hecho del mismo material—.
La cantidad de caramelos y el precio a pagar por ellos —pagarás el doble de euros para comprar el doble de caramelos—.
SEMANA 25 AL 29 DE MAYO
RAZÓN Y PROPORCIÓN
Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :
¿Qué es una proporción?
En matemáticas, se conoce como proporción a la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, entre dos comparaciones entre dos cantidades determinadas. O sea: si a/b es una razón, entonces la igualdad a/b = c/d será una proporción.
Por ejemplo: si un negocio de venta de pizza tiene una ganancia de $15.000 y un gasto de $5.000, podremos decir que la empresa tiene una razón de 3. Del mismo modo, si a este negocio le cuesta $20 elaborar dos pizzas (20/2 = 10), de modo que elaborar cuatro pizzas costaría $40 (40/4 = 10). Si ambas razones se expresan en una fórmula: 20/2 = 40/4. He allí una proporción.
La teorización sobre este tipo de relaciones se elaboró en la antigüedad griega, y se le atribuye a Eudoxio de Cnidos, maestro del célebre Euclides de Alejandría, gracias a quien sobreviven las enseñanzas de su maestro, recogidas en el libro V de los Elementos de Euclides.
Tipos de proporcionalidad
Podemos decir que una proporción se da en las situaciones matemáticas en que los valores de dos magnitudes dependen el uno del otro de manera directa (proporcionalidad directa). Así, cuando uno de los valores de la relación aumente, el otro lo hará también necesariamente, como es por ejemplo la relación entre temperatura y energía: a mayor temperatura, se registra mayor energía y viceversa.
En cambio, en una relación en que el aumento de uno de los términos acarrea la disminución del otro, se dice que estamos ante una proporcionalidad inversa. Esto puede expresarse como que dos términos son inversamente proporcionales: cuando uno sube el otro baja, y viceversa. Tal es la relación entre velocidad y tiempo: a mayor velocidad menor tiempo tardaremos en llegar a nuestro destino, y viceversa.
SEMANA 18 AL 22 DE MAYO
ECUACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.
Resolver ecuaciones racionales
Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.
Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente
Pasamos el denominador multiplicando por lo que nos queda:
Despejando la variable
Comprobamos la solución
La ecuación no tiene solución para porque se anulan los denominadores, no existe una fracción con denominador cero
2
Calculamos el mcm de los denominadores:
Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente
Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante
Comprobamos las soluciones:
Para
sí es solución de la ecuación.
Para
sí es solución de la ecuación.
SEMANA 11 AL 15 DE MAYO
FRACCIÓN GENERATRIZ
La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreductible que da como resultado dicho número decimal.
Por ejemplo, el número decimal (periódico puro)
0.428571428571428571428571428571...
tiene período 428571 y está generado por la fracción tres séptimos:
37=0.428571...
Nota:recuerda que una fracción es irreductible si el máximo común divisor de su numerador y denominador es 1, es decir, si la fracción no se puede simplificar.
Vamos a ver un método para obtener la fracción generatriz para cada unos de los tres tipos de números decimales (exacto, periódico puro y periódico mixto).
Recuerda:
la parte entera de un número decimal es el número que hay a la izquierda de la coma,
y la parte decimal de un número decimal es el número que hay a la derecha de la coma.
Por ejemplo, la parte decimal de 9,10101010... es 9 y la parte decimal es 10101010...
Notación:
Los puntos suspensivos detrás de un decimal indica que el número de decimales es infinito.
El punto decimal lo denotaremos con una coma: ",".
Decimal exacto
Las fracciones limitadas: son todas aquellas fracciones que tienen un número determinado de decimales. Método para obtener la fracción generatriz de un decimal exacto, como el número
Un número decimal es exacto si tiene un número finito de decimales (números detrás de la coma).
Por ejemplo, los números 2,46 y 1,2345 son decimales exactos.
Fracción generatriz:
Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 2,46:
Escribimos en el numerador el número sin la coma y en el denominador escribimos 10 elevado al número de decimales, es decir, el denominador es un 1 seguido de tantos 0’s como decimales tiene el número.
Simplificamos la fracción: tenemos que descomponer el numerador y el denominador en números primos:
Simplificamos la fracción:
Luego la fracción generatriz del número decimal exacto 2,46 es
Las fracciones ilimitadas: corresponden a todas aquellas fracciones que tienen una cantidad de decimales infinitos.
Las fracciones periódicas puras: son aquellas que tienen como decimal un mismo número que se repite hasta el infinito.
Decimal periódico puro
Método para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico puro, como el numero
Un número decimal es periódico puro si su parte decimal está formada por uno o varios números que se repiten indefinidamente. El decimal o decimales que se repiten se denominan periodo.
Por ejemplo, el número 3,23232323... es un decimal periódico puro con periodo 23. Es habitual escribir a este tipo de decimales con la parte entera (delante de la coma), la coma y únicamente una vez el período (enfatizado):
Fracción generatriz:
Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 3,232323...:
En el numerador escribimos el número decimal sin la coma (sólo con un período) y le restamos la parte entera (el número que hay delante de la coma). En el denominador escribimos el número que tiene tantos 9's como cifras tiene el período: La parte entera de 3,232323... es 3 y su periodo tiene 2 cifras:
Simplificamos la fracción: en este caso, la fracción ya es irreductible (no se puede simplificar más). Luego la fracción generatriz de 3,232323... es
Las fracciones periódicas mixtas: son aquellas que tienen una determinada magnitud numérica que se repite hacia el infinito formada por varias cifras.
Decimal periódico mixto
Método para obtener la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, como el número
Un decimal es periódico mixto si tiene un periodo a partir de un determinado decimal. Los decimales que hay entre la coma decimal y el periodo se denominan anteperiodo.
Por ejemplo, el número 5,02121212... es periódico mixto, siendo 02 su anteperiodo y 12 su periodo. Podemos escrilo como
Fracción generatriz:
Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 5,06121212...:
En el numerador escribimos el número decimal sin la coma (sólo con un período) y le restamos el número formado por todas las cifras anteriores al período (incluidas las cifras de delante de la coma). En el denominador escribimos tantos 9’s como cifras tiene el período seguidos de tantos 0’s como cifras tiene el anteperíodo:
Simplificamos la fracción:
Luego la fracción generatriz de 5,06121212... es
ACTIVIDAD
Problema A
Clasificar los siguientes números decimales indicando su parte entera y, en caso de haberlos, su anteperíodo y período:
Problema B
Clasificar y obtener la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
SEMANA 4 AL 8 DE MAYO
FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS
FRACCIONES
FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS.
Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.
Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural.
Fracciones propias:
Conceptos
Elegimos una figura geométrica (círculo, cuadrado, rectángulo, triángulo,...).
La dividimos en partes iguales. El total de partes en que se divida el dibujo depende del denominador (el número que está debajo de la raya fraccionaria), ya que éste indica el número de partes que forman una unidad.
Después marcamos en ella las partes que indica el numerador (número que está encima de la raya fraccionaria), ya que es número de partes que se ha tenido en cuenta de la unidad.
Resolución
Representamos la fracción (ó 3/7).
Elegimos una figura, por ejemplo un círculo y lo dividimos en 7 partes iguales (el número que indica el denominador).
Marcamos 3 partes del círculo (el número que indica el numerador)
Indicamos qué fracción representa el siguiente dibujo.
Vemos que el círculo está dividido en 4 partes iguales, por tanto, el denominador es el 4.
El número de partes marcadas es el 3 y por ello, el nominador es el 3.
El resultado sería (ó 3/4).
Lo mismo podemos hacer con un cuadrado o un rectángulo. Observa las figuras en la imagen.
Fracciones impropias:
Conceptos
Como sabemos, la fracción impropia es una fracción que tiene el numerador mayor que el denominador. (Su valor es mayor que 1).
Por tanto, tenemos que utilizar más de una unidad (más de una figura geométrica) para representar la fracción impropia gráficamente.
Igual que en el caso de fracciones propias, elegimos una figura geométrica y la dividimosen partes iguales (tantas partes como indica el denominador),
Vemos, que al ser numerador mayor que el denominador, no podemos marcar todas las partes que indica el numerador.
Tenemos utilizar una segunda figura geográfica y dividirla exactamente igual que la primera (en tantas partes iguales como indica el denominador).
Ahora ya podemos marcar las figuras que nos faltaban.
Resolución
Representamos la fracción
Elegimos un rectángulo y lo dividimos en 6 partes iguales (el número que indica el denominador).
Comprobamos que el numerador es 10 y el rectángulo que elegimos no es suficiente para marcar 10 partes en él. Sólo podemos colorear 6 de ellas. Nos faltan 4.
Dibujamos otro rectángulo y lo dividimos en 6 partes iguales (exactamente igual que el primero).
Coloreamos las 4 partes que nos faltan.
Representación de fracciones mediante recta numérica
Además de representar las fracciones mediante figuras geométricas, podemos representarlas en la recta numérica.
Fracciones propias:
Conceptos
Para ubicar fracciones propias en la recta numérica se divide la unidad en partes iguales (segmentos), según indica el denominador,
Ubicamos la facción en la recta numérica según indica el numerador
Resolución
Vamos a ubicar en la recta numérica la fracción
Dividimos la recta en 7 segmentos iguales (según indica el denominador)
Ubicamos la fracción en el segmento 4 (según indica el numerador)
Fracciones impropias:
Conceptos
Como ya sabemos, Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.
Hay dos formas de representar una fracción impropia en la recta numérica:
Directamente
Dividimos todos los números enteros de la recta numérica en partes o segmentos (según el número que indica el denominador)
Empezando desde 0 contamos el número de veces que nos indica el numerador y ubicamos la fracción.
Transformando la fracción impropia a número mixto
Recuerda que para pasar una fracción impropia a número mixto debes dividir el numerador de la fracción entre el denominador.
Al convertirlas en número mixto, elentero que se obtiene nos indica entre que números enteros está la fracción impropia, y la fracciónque nos resultase ubica entre dichos números.
Resolución
Vamos a ubicar en la recta numérica la fracción
Directamente
Marcamos en la recta numérica números enteros.
Dividimos cada número entero en 3 partes o segmentos (según indica el denominador).
Contamos desde 0 hasta 5 los segmentos (según indica el numerador).
Ubicamos la fracción en el 5º segmento.
Transformando la fracción impropia a número mixto
Paso 1: Convertimos la fracción en número mixto.
Recuerda el procedimiento:
Dividimos el numerador entre denominador y comprobamos cuántos enteros nos da y cuánto es el resto.
5: 3 = 1; el resto = 2
1 = partes enteras
2 = nuevo numerador
El denominador se mantiene igual = 3
El entero 1 nos indica que la fracción está entre el 1 y el 2.
Paso 2: Ubicamos la fracción original en la recta numérica
Marcamos en la recta numérica números enteros.
Dividimos cada número entero en 3 partes o segmentos (según indica el denominador).
Ubicamos la fracción en la recta numérica entre los enteros 1 y 2 en el 2º segmento.
Podemos comprobar que hemos ubicado la fracción en el mismo segmento.
Ejemplos de la vida real
En una fiesta de cumpleaños hay 4 globos amarillos, 2 globos naranja, 1 azul y 5 rojos. ¿Qué fracción representa cada color? Si se pinchan 5, nos quedan 7 globos, ¿qué fracción del total queda sin explotar? Haz un dibujo para representar la situación.
Resolución:
Sumamos todos los globos. (4 + 2 + 1 + 5 = 12) Tenemos en total 12 globos, son 12 partes de una totalidad de globos.
Para representar matemáticamente la fracción, ubicamos en el lugar del denominador la totalidad de globos (12) y en el lugar del numerador la cantidad de globos de cada color.
4 globos amarillosde los 12
2 globos naranjade los 12
1 globo azulde los 12
5 globos rojosde los 12
Si se pinchan 5 globos nos quedan 7 (12–5=7), pero no sabemos de qué color eran los globos que se pincharon. No sabemos cuántos globos nos quedaron de cada color.
Para representar matemáticamente la fracción, ubicamos en el denominadorel 12 (el número de globos que tuvimos en total antes de que se pincharan 5) y en el numerador ubicamos el 7 (número de globos que nos quedan).
La fracción de globos que nos quedan es
FRACCIONES EQUIVALENTES
NÚMEROS MIXTOS
Números mixtos
Son aquellos que poseen una parte entera y una parte fraccionaria.
Conversión de un número mixto a fracción impropia
Se multiplica el denominador por la parte entera, a dicho producto se le suma el numerador. Este resultado es el numerador de la fracción impropia, el denominador es el mismo de la parte fraccionaria.
Conversión de una fracción impropia a un número mixto
Realizamos una división inexacta. El cociente es la parte entera; el residuo, el numerador y el denominador de la parte fraccionaria es el mismo denominador que en la fracción impropia.
FRACCIONES GRADO 7º
1- Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y se multiplican los denominadores entre si. Luego si es necesario se simplifica la fracción resultante.
Ejemplo:
1.1- Resolución de problemas
Ejemplo:
Don José dejó 3/5 de la pared para pintar con colores cálidos. Si pintará de color café 2/3 de lo destinado a los colores cálidos, ¿qué parte de la pared será de color café?
Si representamos gráficamente la información tenemos:
Por lo tanto, se tiene que 2/5 de la pared serán pintados de color café.
1.2- Multiplicación de números naturales y fracciones
Debes hacer lo siguiente:
Resolver el siguiente problema:
En una tienda hay 80 botellas de agua de 1/4 L cada una. ¿Cuántos litros de agua hay en total?
Respuesta: En total hay 20 L de agua en la tienda.
A CONTINUACIÓN SE PRESENTAN UNAS VIDEOS CLASES, OBSEVAR LA EXPLICACIÓN PARA POSTERIORMENTE DESARROLLAR LOS EJERCICIOS:
A CONTINUACIÓN SE PRESENTAN LAS ACTIVIDADES A RESOLVER.
LA ÚLTIMA PÁGINA PRESENTADA EN LA IMAGEN DEBEN DESARROLLARLA Y ENVIAR AL SIGUIENTE CORREO: edwingonzalezp1562@gmail.com
Ahora escribimos el segundo debajo del primero, de manera que coincidan los términos semejantes uno debajo de otro.
es un número natural y
=3x^{8})
y =&space;-2x^{3})
entonces*Q(x)=)
=)
como pueden observar se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.=-\frac{4}{5}z^{10})
y =-\frac{5}{3}z^{5})
entonces*M(x)=)
*\left&space;(&space;-\frac{5}{3}z^{5}&space;\right&space;)&space;=)
se multiplicaron los coeficientes de los términos a través de la multiplicación de fracciones, se multiplicaron los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.=3xy^{2})
y =5x^{2}y)
entonces*Z(x)=)
se observa que se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) que tenían la misma base (variable).=5y)
y =4x^{2})
entonces 
no se sumaron los exponentes porque las variables son distintas.=&space;6x^{3}+4x-8)
y =&space;x-3x^{2}+2x^{3})
encontrar: *Q(x))
=&space;2x^{3}-3x^{2}+x)
*Q(x)=\left&space;(6x^{3}+4x-8&space;\right&space;)*\left&space;(&space;2x^{3}-3x^{2}+x&space;\right&space;)=)
=3x^{4}+2x^{2}+5x+8)
y =6x^{3}+8x+3)
encontrar:*R(x))
*R(x)=\left&space;(&space;3x^{4}+2x^{2}+5x+8&space;\right&space;)*\left&space;(&space;6x^{3}+8x+3\right&space;)=)
=2x^{2}-5x+2)
y =8x+3)
encontrar: *R(x))
*R(x)=\left&space;(2x^{2}-5x+2&space;\right&space;)*\left&space;(&space;8x+3&space;\right&space;)=)
=&space;2x^{2}-15)
=-5x^{2}+x^{3}-3x)
encontrar :*M(x))
=x^{3}-5x^{2}-3x)
=&space;-5x^{3}-2x^{2}+3x-12)
=4x^{3}+5x-2x^{2}+3)
encontrar: *&space;Q(x))
=4x^{3}-2x^{2}+5x+3)
=-4x^{2})
encontrar: *&space;Z(x))
=&space;2x^{4}-5x^{3}-2x^{2}+3x-12)
=5x^{2}-4x)
y =+3+7x^{2})
encontrar *&space;Y(x))
=7x^{2}+3)
= 
.
a 
.
reescribiéndolo como el inverso de r.
= 
= 
= 
Y lo añadimos en el resultado:
no se pueden sumar.
.png?width=800&name=Solucio%CC%81n-de-ecuaciones-con-dos-inco%CC%81gnitas%20(1).png)
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
La suma de 3 númerosA+b+cLa semi suma de dos números.(a+b)/2
kg de tomates cuesta 
, entonces:
kg de tomates costará 
(
céntimos)
sí es solución de la ecuación.
sí es solución de la ecuación.
(ó 3/7).
(ó 3/4).
en número mixto.
en la recta numérica entre los enteros 1 y 2 en el 2º segmento.
de los 12
de los 12
de los 12
de los 12
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