La potenciación en lo números reales se define de manera que, una vez más, se conserve la operación y sus propiedades en los subconjuntos de los números reales ya estudiados.
Si a es un número real y n es un entero positivo, la expresión es el producto que resulta de tomar a como factor n veces, es decir.
Aquí a se llama base, n se llama exponente y an es la potencia (también se acostumbra llamar potencia al resultado). En particular a1es igual a la base a.
, para todo número real.
Además cuando la base sea 1 o 0 tenemos:
para todo número entero n.
, para todo número entero positivo k.
Si la base es un número real a diferente de 0 y el exponente es un número entero positivo n, entonce la potencia a-n es el número real que se obtiene como:
Ya definimos la potencia an para n entero positivo o negativo, ahora, si el exponente nes igual a 0, la potencia se define de la siguiente manera:
, para todo número real a,
Ejemplo:
Escribamos la operación que nos permita calcular cada potencia indicada y calculémosla.
a)
b)
Al efectuar el proceso de elevar un número real a un entero, es necesario tener en cuenta el signo de la base y el número de veces que se toma como factor, para determinar el signo de la potencia. Así se puede llegar a las conclusiones de la tabla.
Exponente Base
Par
Impar
Positiva
Potencia positiva
Potencia positiva
Negativa
Potencia positiva
Potencia negativa
Podemos combinar la potenciación con la suma y la multiplicación. Veamos.
Ejemplo:
a)
b) .
como ninguna de las propiedades estudiadas en la potenciación con números racionales es aplicable para esta operación, entonces:
Ahora, recordemos cómo se efectuan las multiplicaciones y divisiones de potencias en las que la base o el exponente son iguales. Las propiedaes que se cumplen en los números racionales se deben cumplir al operar con números reales.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Las propiedades de la potenciación relacionadas con las operaciones de las familias aditiva y multiplicativa, siempre que las expresiones resultantes tengan sentido en el conjunto de los números reales, son:
Si tenemos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
SEMANA DEL 26 AL 30 DE OCTUBRE
POTENCIACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES. SEGUNDA PARTE
La potenciación en lo números reales se define de manera que, una vez más, se conserve la operación y sus propiedades en los subconjuntos de los números reales ya estudiados.
Si a es un número real y n es un entero positivo, la expresión es el producto que resulta de tomar a como factor n veces, es decir.
Aquí a se llama base, n se llama exponente y an es la potencia (también se acostumbra llamar potencia al resultado). En particular a1es igual a la base a.
, para todo número real.
Además cuando la base sea 1 o 0 tenemos:
para todo número entero n.
, para todo número entero positivo k.
Si la base es un número real a diferente de 0 y el exponente es un número entero positivo n, entonce la potencia a-n es el número real que se obtiene como:
Ya definimos la potencia an para n entero positivo o negativo, ahora, si el exponente nes igual a 0, la potencia se define de la siguiente manera:
, para todo número real a,
Ejemplo:
Escribamos la operación que nos permita calcular cada potencia indicada y calculémosla.
a)
b)
Al efectuar el proceso de elevar un número real a un entero, es necesario tener en cuenta el signo de la base y el número de veces que se toma como factor, para determinar el signo de la potencia. Así se puede llegar a las conclusiones de la tabla.
Exponente Base
Par
Impar
Positiva
Potencia positiva
Potencia positiva
Negativa
Potencia positiva
Potencia negativa
Podemos combinar la potenciación con la suma y la multiplicación. Veamos.
Ejemplo:
a)
b) .
como ninguna de las propiedades estudiadas en la potenciación con números racionales es aplicable para esta operación, entonces:
Ahora, recordemos cómo se efectuan las multiplicaciones y divisiones de potencias en las que la base o el exponente son iguales. Las propiedaes que se cumplen en los números racionales se deben cumplir al operar con números reales.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Las propiedades de la potenciación relacionadas con las operaciones de las familias aditiva y multiplicativa, siempre que las expresiones resultantes tengan sentido en el conjunto de los números reales, son:
Si tenemos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
SEMANA DEL 19 AL 23 DE OCTUBRE
POTENCIACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES
POTENCIAS
Los exponentes son una manera reducida de repetir una multiplicación del mismo número por sí mismo.
Por ejemplo, la forma reducida de multiplicar tres veces el número 5 se muestra en el miembro derecho de la siguiente igualdad (5)·(5)·(5) = 53.
La notación exponencial o potencia es una forma sencilla de escribir un número como producto de factores.
BaseExponente
El exponente nos indica cuántas veces la base se multiplica por sí misma.
Propiedades de los Exponentes
1. Producto de bases iguales:Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes y se mantiene la base común.
Enteros : 2 2 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 ·2 = 2 5
Variable: x m ·xn = x m + n
2. Cociente de bases iguales: Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes y se mantiene la base común.
3. Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a un exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Enteros: (23)2 = 23 · 23 = 26
Variable: (xm)n = xm·n
4. Potencia de un Producto: Para elevar un producto a un exponente, se elevan cada uno de los factores a ese exponente.
5. Potencia de un cociente: Para elevar un cociente a un exponente, se eleva cada uno de los números a ese exponente.
Exponentes uno y cero
Observa que 31 es el producto de solo un 3, que es evidentemente 3.
Observa también que 35 = 3·34. También 34 =3·33. Continuando el proceso, tendremos
31 = 3·30.
Otra forma de decir ésto es diciendo que cuandon, m, y n − m es positivo (y si x no es igual a cero), podemos ver contando el número de veces que se repite x que
Extendiendo esto al caso en que n y m son iguales, la ecuación se convierte en
dado que ambos, numerador y denominador son iguales. así, lo tomaremos como definición de x0.
Esto nos lleva a la siguiente regla:
Todo número elevado a la potencia 1 es el mismo número.
Todo número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1; una interpretación de estas potencias es como productos vacios. El caso de 00 se explicará posteriormente.
Exponentes negativos
Extendamos ahora el concepto de potenciación al caso de exponente no natural. Lo haremos de modo que se mantengan las reglas ya vistas para los exponentes. Es decir, queremos que las reglas vistas se mantengan paracualquier tipode exponente: positivos, negativos, cero e incluso fraccionarios.
La notación científica nos permite escribir números muy grandes o muy pequeños de forma abreviada. Esta notación consiste simplemente en multiplicar por una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo.
Ejemplo: el número 0,00000123 puede escribirse en notación científica como
Evitamos escribir los ceros decimales del número, lo que facilita tanto la lectura como la escritura del mismo, reduciendo la probabilidad de cometer erratas.
Obsérvese que existen múltiples posibilidades de expresar el mismo número, todas ellas igualmente válidas.
En esta página veremos cómo escribir números naturales y decimales en notación científica y viceversa. Las operaciones (multiplicar, dividir, sumar y restar) entre números escritos de este modo las veremos en otra página.
1. Potencias de 10
Recordatorio del significado y valor de las potencias de base 10 con exponente positivo y con exponente negativo.
10n=?
Ver Texto
2. Multiplicar/dividir por 10
La notación científica consiste precisamente en multiplicar por una potencia de 10. En esta sección explicamos el resultado de multiplicar o dividir un número por 10 para comprender el resultado de multiplicar por una potencia de 10.
Ver Texto
3. Multiplicar por una potencia de 10 con exponente Positivo
10⋅10⋅⋅⋅10=10n
En el apartado anterior vimos que al multiplicar un número por 10 la coma decimal de dicho número se desplaza una posición hacia la derecha.
Como multiplicar sucesivamente (varias veces) por 10 es lo mismo que multiplicar por una potencia de 10,
Al multiplicar un número por la potencia 10n (con exponente positivo) se desplaza la coma hacia la derecha tantas posiciones como indica el exponente.
Ejemplo:
Como los exponentes son positivos, la coma se desplaza hacia la derecha.
Si no hay suficientes cifras para desplazar la coma, se añaden 0's (a la derecha).
4. Multiplicar por una potencia de 10 con exponente Negativo
110⋅110⋅⋅⋅110=10−n
Anteriormente vimos que al dividir un número entre 10 la coma decimal de dicho número se desplaza una posición hacia la izquierda.
Como dividir sucesivamente (varias veces) entre 10 es lo mismo que multiplicar por una potencia de 10 con exponente negativo,
Al multiplicar un número por la potencia 10-n (con exponente negativo) se desplaza la coma hacia la izquierda tantas posiciones como indica el exponente (al cambiarle el signo).
Ejemplo:
Como los exponentes son negativos, la coma se desplaza hacia la izquierda.
Si no hay suficientes cifras para desplazar la coma, se añaden 0's (a la izquierda). Esto ocurre en el primer, segundo y cuarto número del ejemplo.
Nota: el número resultante al cambiar el signo del exponente indica cuántas posiciones se desplaza la coma:
Un número escrito como sumandos de potencias de base 10 se dice qaue está expresado en notación estándar.
3 · 103+ 6 · 102 + 4 · 100 + 5 · 10–1 + 6 · 10–2
Ejemplo: La notación estándar de 674,034 es:
6 · 102 + 7 · 101 + 4 · 100 + 3 · 10–2 + 4 · 10–3
Usando la calculadora: Usa el siguiente ejemplo para escribir un número cualquiera en notación científica con la caluladora. Ejemplo: para escribir 3·107, teclea 3 EXP 7 y verás en la pantalla de tu calculadora 3 07, que no significa 3 7,sino que significa 3 ·107.
Unidades: Múltiplos y Submúltiplos de unidades
Además de los prefijos Kilo (Km. Kilo-metro 103 m = 1000 metros ) deca (dam . deca-metro) (Km . kilo–metro 103 m = 1000 metros), deca (dam . deca–metro 10 1 m= 10 metros), o centi ( cm . centi–metro 10 –2 metros = ) hay muchos más.
Los siguientes prefios se usan comunmente, (No necesitas memorizarlos),es útil tener una idea básica de ellos y saber cómo interpretarlos.
Prefijo
exa
peta
tera
giga
mega
miria
kilo
hecto
deca
Símbolo
E
P
T
G
M
ma
k
h
da
Valor
1018
1015
1012
109
106
10 4
10 3
10 2
101
Prefijo
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
Símbolo
d
c
m
n
p
f
a
Valor
10 –1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
Conjunto de los Números Reales
Naturales, N
Los Números Naturales son los usados para contar {1, 2, 3, ...} (enteros positivos). A veces se incluye el cero en dicho conjunto {0, 1, 2, 3, ...} (enteros no negativos). Los matem´ticos usan en ambos casos el término "naturales".
Enteros, Z
Los Números Enteros son los números naturales y sus negativos {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. (Z es por la palabra alemana Zahl, "numbero"
Racionales, Q
Los números Racionales son razones de enteros, también llamadas fracciones, como 1/2 = 0.5 o 1/3 = 0.333... Los racionales son números decimales, exactos o periódicos. (Q es de quotient, cociente.)
Propiedades de la potenciación:
Sean a y b números reales y m y n enteros positivos, entonces:
Ejemplos:
SEMANA DEL 13 AL 16 DE OCTUBRE
LOS NÚMEROS REALES. OPERACIONES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números reales.
Línea real.
Los números reales y la Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjunto de muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor.
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene la siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de la muñeca más grande se llama Matrioshka. Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
Esquema Martioshka
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también desde arriba o abajo (figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos ver claramente la jerarquía de dimensiones que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también podemos organizar los números reales siguiendo el mismo método.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
Ejemplo práctico
Comprueba que los siguientes números corresponden a punto en la recta real.
Números naturales: 1,2,3,4…
Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
Números irracionales:
Características de los números reales
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.
Orden
Todos los números reales tienen un orden:
En el caso de las fracciones y decimales:
Integral
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,
Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979...
Clasificación de los números reales
Conjuntos de los números reales.
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos.
Ejemplo
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca.
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como:
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que:
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos.
Los números enteros nos sirven para:
representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha;
representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.
Ejemplos
En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -43 ºC y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo tiene 3.000 pesos.
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.
Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra Q:
Ejemplos
Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:
Propiedades de los números reales
La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
Si a,b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
Suma de números reales
1 Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
Es decir, si a y b pertenecen a los números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa:
Entonces la suma resultará un número real también.
Ejemplo:
2 Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
Es decir,
Ejemplo:
3 Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
Ejemplo:
4 Elemento neutro:
El elemento neutro es un número que cumple que
para cualquier número
En el caso de los números reales, el es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
Ejemplo:
5 Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el elemento neutro, en este caso, cero.
Al opuesto de un número se le denota como . Entonces,
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
Producto de números reales
Propiedades:
1 Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
2 Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si , y son números reales cualesquiera, se cumple que:
Ejemplo:
3 Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
Ejemplo:
4 Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
Ejemplo:
5 Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
Ejemplo:
6 Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
7 Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
Ejemplo:
Regla de los signos
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.
Ejemplos:
División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
SEMANA 28 DE SEPTIEMBRE AL 02 DE OCTUBRE
CONJUNTOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos los números que son susceptibles de ser expresados como una fracción, es decir, como el cociente de dos números enteros. La palabra ‘racional’ deriva de la palabra ‘razón’, que significa proporción o cociente. Ejemplos: 1, 50, 4.99.
En las operaciones matemáticas que se hacen a diario para resolver cuestiones cotidianas, casi todos los números que se manejan son racionales, pues la categoría abarca a todos los números enteros y a una gran parte de los que llevan decimales.
Tanto los números fraccionarios racionales como los irracionales (su contraparte) son categorías infinitas. Sin embargo, estos se comportan de diferente manera: los números racionales son comprensibles y, en tanto representables por fracciones, su valor se puede aproximar con un criterio simplemente matemático, no ocurre esto con los irracionales.
Ejemplos de números racionales
Aquí se listan números racionales a modo de ejemplo. En los casos de ser estos a su vez números fraccionarios, se indica también su expresión como cociente:
142
3133
10
31
69,96 (1749/25)
625
7,2 (36/5)
3,333333 (3/10)
591
86,5 (173/2)
11
000.000
41
55,7272727 (613/11)
9
8,5 (17/2)
818
4,52 (113/25)
000
11,1 (111/10)
La mayoría de las operaciones que se realizan entre números racionales tienen como resultado necesariamente otro número racional: no sucede esto, como hemos vimos, en todos los casos, como en el de la operación de la radicación y tampoco de la potenciación.
Otras propiedades típicas de los números racionales son las relaciones de equivalencia y de orden (la posibilidad de realizar igualdades y desigualdades), así como también la existencia de números inversos y neutros.
Las tres propiedades más importantes son:
La asociativa
La distributiva
La conmutativa
Estas son demostrables sencillamente a partir de la condición inherente a todos los números racionales de poder expresarse como cocientes de números enteros.
Números periódicos
Una categoría muy particular de los números racionales, que suele dar lugar a confusiones, es la de los números periódicos: estos se componen de infinitas cifras pero pueden expresarse como una fracción.
Existen muchos números periódicos. El más sencillo de ellos es el que nace de dividir la unidad en tres partes iguales, equivalente a 1/3 o a 0,33 más infinitos decimales: no por su condición de infinitud pasa a ser irracional.
Números irracionales
Los números irracionales son los que cumplen funciones más reconocidas a los fines de la matemática y de la geometría: indudablemente el número más importante de esta ciencia de las figuras ideales es el número pi (π), que expresa la longitud del perímetro de una circunferencia cuyo diámetro (es decir, la distancia entre dos puntos opuestos) es igual a 1.
El número pi es aproximadamente 3,14159265359, y la prolongación puede extenderse hacia el infinito para cumplir con su definición de imposibilidad de expresarse como fracción.
Lo mismo sucede con la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando a cada uno de los lados de ese cuadrado como iguales a la unidad: ese número es la raíz cuadrada de 2, que es 1,41421356237. Ambos números, como los más importantes de los irracionales, tienen múltiples funciones derivadas de su rol primordial en la geometría.
¿Qué son los números racionales?
Al cociente de la división de dos números enteros a y b, donde b es diferente de cero, se le denomina número racional. Todos los números racionales constituyen el conjunto de números racionales denotados por Q
Conjunto de los números racionales
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Hoy les vengo trayendo el desarrollo del tema: Conjunto de los números racionales, este es muy importante dentro de la aritmética pues aquí están los tan famosos números decimales y las fracciones. Así que, a prestar mucha atención para que no se te escape nada. Entonces, empecemos.
Al cociente de la división de dos números enteros a y b, donde b es diferente de cero, se le denomina número racional. Todos los números racionales constituyen el conjunto de números racionales denotados por Q
Representación gráfica de los números racionales
Los números naturales están dentro de los enteros y estos a su vez dentro de los racionales
Número Fraccionario
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan números enteros.
Ejemplos
Fracción
Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.
Forma general:
Representación gráfica
Veamos que representa la fracción 3/8.
Se observa:
El denominador 8 indica en cuantas partes se divide el todo (unidad de referencia)
El numerador 3 representa las partes del todo que se toman o que se observan.
Clasificación de fracciones
Por comparación de sus términos
Fracciones Propias
Cuando el numerador es menor que el denominador.
Ejm: 3/5; 5/7; 98/99
Fracciones Impropias
Cuando el numerador es mayor que el denominador.
Ejm: 23/5; 12/7; 105/29
Por grupo de fracciones
Fracciones Homogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son homogéneas si todos los denominadores son iguales.
Ejm: 2/5; 3/5; 7/5; 9/5
Fracciones Heterogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son heterogéneas si todos los denominadores son diferentes.
Ejm: 3/7; 4/5; 7/13; 32/17
Por los divisores comunes entre sus términos
Fracciones Reductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen algún divisor común distinto de 1.
Ejm: 12/24; 49/56; 144/96
Fracciones Irreductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen como único divisor común a la unidad (PESI)
Ejm: 17/23; 4/7; 24/35
Por su denominador
Ordinarios
Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10 (denominador diferente de 10^n; n pertenece a los enteros positivos)
Ejm: 2/7; 9/23; 25/15
Decimales
Cuando su denominador es igual a una potencia de 10.
Ejm: 2/100; 137/1000; 27/10
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando con términos distintos expresan la misma porción de la unidad.
Simplificación de fracciones
Para simplificar una fracción se divide al numerador y al denominador por una misma cantidad.
Número Mixto
Un número mixto está formado por un número entero positivo y una fracción propia.
Conjunto de los números racionales
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Hoy les vengo trayendo el desarrollo del tema: Conjunto de los números racionales, este es muy importante dentro de la aritmética pues aquí están los tan famosos números decimales y las fracciones. Así que, a prestar mucha atención para que no se te escape nada. Entonces, empecemos.
Al cociente de la división de dos números enteros a y b, donde b es diferente de cero, se le denomina número racional. Todos los números racionales constituyen el conjunto de números racionales denotados por Q
Representación gráfica de los números racionales
Los números naturales están dentro de los enteros y estos a su vez dentro de los racionales
Número Fraccionario
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan números enteros.
Ejemplos
Fracción
Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.
Forma general:
Representación gráfica
Veamos que representa la fracción 3/8.
Se observa:
El denominador 8 indica en cuantas partes se divide el todo (unidad de referencia)
El numerador 3 representa las partes del todo que se toman o que se observan.
Clasificación de fracciones
Por comparación de sus términos
Fracciones Propias
Cuando el numerador es menor que el denominador.
Ejm: 3/5; 5/7; 98/99
Por grupo de fracciones
Fracciones Homogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son homogéneas si todos los denominadores son iguales.
Ejm: 2/5; 3/5; 7/5; 9/5
Fracciones Heterogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son heterogéneas si todos los denominadores son diferentes.
Ejm: 3/7; 4/5; 7/13; 32/17
Por los divisores comunes entre sus términos
Fracciones Reductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen algún divisor común distinto de 1.
Ejm: 12/24; 49/56; 144/96
Fracciones Irreductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen como único divisor común a la unidad (PESI)
Ejm: 17/23; 4/7; 24/35
Por su denominador
Ordinarios
Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10 (denominador diferente de 10^n; n pertenece a los enteros positivos)
Ejm: 2/7; 9/23; 25/15
Decimales
Cuando su denominador es igual a una potencia de 10.
Ejm: 2/100; 137/1000; 27/10
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando con términos distintos expresan la misma porción de la unidad.
Simplificación de fracciones
Para simplificar una fracción se divide al numerador y al denominador por una misma cantidad.
Número Mixto
Un número mixto está formado por un número entero positivo y una fracción propia.
Conversión de número mixto a fracción impropia
Para convertir un número mixto a fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y a este producto se le suma el numerador, el denominador de la fracción es el mismo.
Ejemplo
Conversión de fracción impropia a número mixto
Para convertir a número mixto una fracción impropia, se divide el numerador por el denominador; el cociente será el entero del número mixto, y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
Ejemplo
Comparación de fracciones
Si las fracciones son homogéneas, será mayor la que tenga mayor numerador.
2. Si las fracciones son heterogéneas, podemos emplear el siguiente procedimiento:
Dando común denominador: Se halla el MCM de los denominadores y el nuevo numerador se hallará multiplicando el numerador inicial por el cociente del MCM entre el denominador inicial.
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción de fracciones
Se presentan 2 casos:
Cuando las fracciones tienen un mismo denominador: Se suman los numeradores y al resultado se le pone el mismo denominador común.
2. Cuando las fracciones tienen diferentes denominadores: Se homogenizan los denominadores de las fracciones y se procede como en el caso anterior.
Multiplicación de fracciones
Se presentan dos casos:
Multiplicación de una fracción por otra fracción: Se multiplican los numeradores correspondientes y se dividen por el resultado de multiplicar los denominadores.
2. Multiplicación de una fracción por un número entero: Se multiplica el numerador por el número entero y se escribe el mismo denominador.
División de fracciones
Se presenta el siguiente caso:
División de una fracción entre otra fracción: Se multiplica la primera fracción por la fracción inversa de la segunda.
Números decimales
Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción.
Clasificación de los números decimales
Número decimal exacto
Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras. Se obtiene de una fracción irreductible cuyo denominador tiene como divisores primos solo a 2 y/o 5
Número decimal Inexacto
Son los números decimales que tienen un número ilimitado de cifras decimales. Estos números decimales pueden ser, a su vez de dos tipos:
NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO PURO
Son los números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente. Es generado por una fracción irreductible cuyo denominador no tiene como divisores primos a 2 ni a 5.
NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO MIXTO
Son los números decimales en cuya parte decimal hay una parte periódica y otra no periódica. Se generan a partir de una fracción irreductible cuyo denominador tiene como divisores primos a 2 y/o 5 y otros.
Fracción generatriz
Fracción generatriz de un número decimal exacto
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto debemos colocar en el numerador la parte decimal y en el denominador un 1 con tantos ceros como dígitos tenga la parte decimal.
Fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico puro
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico puro debemos colocar en el numerador el periodo decimal y en el denominador tantos nueves como dígitos tenga dicho periodo.
Fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto colocamos en el numerador la diferencia entre toda la parte decimal y la parte no periódica sobre tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica y tantos ceros como dígitos tenga la parte no periódica.
Operaciones con números decimales
Adición y Sustracción de números decimales
Si se trata de decimales exactos, buscamos que tengan la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros.
Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada para luego operar como si se tratara de números enteros.
En el resultado, volveremos a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que los demás.
Multiplicación de números decimales
Multiplicamos los números como si se trataran de números enteros; es decir, sin considerar la coma decimal.
Para ubicar la coma, se considerará que el resultado tenga tantos decimales como cifras decimales tienen entre los dos factores.
División de números decimales
Se iguala la cantidad de cifras en la parte decimal del dividendo y del divisor.
Se suprimen las comas decimales y se procede a dividir con los números enteros obtenidos.
Después de obtener el resto de la división, se continúa agregando un cero a su derecha, a la vez que se coloca la coma decimal a continuación del cociente.
Seguimos con la operación colocando ceros a la derecha de los restos obtenidos hasta obtener cero o hasta que se considere conveniente.
Conjunto de los números racionales ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Halla la fracción generatriz de 0,177777……
Ejercicio 2
Halla la fracción generatriz de 0,5832
Ejercicio 3
Efectúa
Ejercicio 4
Efectúa
Conjunto de los números racionales
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Hoy les vengo trayendo el desarrollo del tema: Conjunto de los números racionales, este es muy importante dentro de la aritmética pues aquí están los tan famosos números decimales y las fracciones. Así que, a prestar mucha atención para que no se te escape nada. Entonces, empecemos.
Al cociente de la división de dos números enteros a y b, donde b es diferente de cero, se le denomina número racional. Todos los números racionales constituyen el conjunto de números racionales denotados por Q
Representación gráfica de los números racionales
Los números naturales están dentro de los enteros y estos a su vez dentro de los racionales
Número Fraccionario
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan números enteros.
Ejemplos
Fracción
Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.
Forma general:
Representación gráfica
Veamos que representa la fracción 3/8.
Se observa:
El denominador 8 indica en cuantas partes se divide el todo (unidad de referencia)
El numerador 3 representa las partes del todo que se toman o que se observan.
Clasificación de fracciones
Por comparación de sus términos
Fracciones Propias
Cuando el numerador es menor que el denominador.
Ejm: 3/5; 5/7; 98/99
Fracciones Impropias
Cuando el numerador es mayor que el denominador.
Ejm: 23/5; 12/7; 105/29
Por grupo de fracciones
Fracciones Homogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son homogéneas si todos los denominadores son iguales.
Ejm: 2/5; 3/5; 7/5; 9/5
Fracciones Heterogéneas
Dos o más fracciones se dicen que son heterogéneas si todos los denominadores son diferentes.
Ejm: 3/7; 4/5; 7/13; 32/17
Por los divisores comunes entre sus términos
Fracciones Reductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen algún divisor común distinto de 1.
Ejm: 12/24; 49/56; 144/96
Fracciones Irreductibles
Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen como único divisor común a la unidad (PESI)
Ejm: 17/23; 4/7; 24/35
Por su denominador
Ordinarios
Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10 (denominador diferente de 10^n; n pertenece a los enteros positivos)
Ejm: 2/7; 9/23; 25/15
Decimales
Cuando su denominador es igual a una potencia de 10.
Ejm: 2/100; 137/1000; 27/10
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando con términos distintos expresan la misma porción de la unidad.
Simplificación de fracciones
Para simplificar una fracción se divide al numerador y al denominador por una misma cantidad.
Número Mixto
Un número mixto está formado por un número entero positivo y una fracción propia.
Conversión de número mixto a fracción impropia
Para convertir un número mixto a fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y a este producto se le suma el numerador, el denominador de la fracción es el mismo.
Ejemplo
Conversión de fracción impropia a número mixto
Para convertir a número mixto una fracción impropia, se divide el numerador por el denominador; el cociente será el entero del número mixto, y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
Ejemplo
Comparación de fracciones
Si las fracciones son homogéneas, será mayor la que tenga mayor numerador.
2. Si las fracciones son heterogéneas, podemos emplear el siguiente procedimiento:
Dando común denominador: Se halla el MCM de los denominadores y el nuevo numerador se hallará multiplicando el numerador inicial por el cociente del MCM entre el denominador inicial.
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción de fracciones
Se presentan 2 casos:
Cuando las fracciones tienen un mismo denominador: Se suman los numeradores y al resultado se le pone el mismo denominador común.
2. Cuando las fracciones tienen diferentes denominadores: Se homogenizan los denominadores de las fracciones y se procede como en el caso anterior.
Multiplicación de fracciones
Se presentan dos casos:
Multiplicación de una fracción por otra fracción: Se multiplican los numeradores correspondientes y se dividen por el resultado de multiplicar los denominadores.
2. Multiplicación de una fracción por un número entero: Se multiplica el numerador por el número entero y se escribe el mismo denominador.
División de fracciones
Se presenta el siguiente caso:
División de una fracción entre otra fracción: Se multiplica la primera fracción por la fracción inversa de la segunda.
Números decimales
Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción.
Clasificación de los números decimales
Número decimal exacto
Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras. Se obtiene de una fracción irreductible cuyo denominador tiene como divisores primos solo a 2 y/o 5
Número decimal Inexacto
Son los números decimales que tienen un número ilimitado de cifras decimales. Estos números decimales pueden ser, a su vez de dos tipos:
NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO PURO
Son los números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente. Es generado por una fracción irreductible cuyo denominador no tiene como divisores primos a 2 ni a 5.
NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO MIXTO
Son los números decimales en cuya parte decimal hay una parte periódica y otra no periódica. Se generan a partir de una fracción irreductible cuyo denominador tiene como divisores primos a 2 y/o 5 y otros.
Fracción generatriz
Fracción generatriz de un número decimal exacto
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto debemos colocar en el numerador la parte decimal y en el denominador un 1 con tantos ceros como dígitos tenga la parte decimal.
Fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico puro
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico puro debemos colocar en el numerador el periodo decimal y en el denominador tantos nueves como dígitos tenga dicho periodo.
Fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto colocamos en el numerador la diferencia entre toda la parte decimal y la parte no periódica sobre tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica y tantos ceros como dígitos tenga la parte no periódica.
Operaciones con números decimales
Adición y Sustracción de números decimales
Si se trata de decimales exactos, buscamos que tengan la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros.
Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada para luego operar como si se tratara de números enteros.
En el resultado, volveremos a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que los demás.
Multiplicación de números decimales
Multiplicamos los números como si se trataran de números enteros; es decir, sin considerar la coma decimal.
Para ubicar la coma, se considerará que el resultado tenga tantos decimales como cifras decimales tienen entre los dos factores.
División de números decimales
Se iguala la cantidad de cifras en la parte decimal del dividendo y del divisor.
Se suprimen las comas decimales y se procede a dividir con los números enteros obtenidos.
Después de obtener el resto de la división, se continúa agregando un cero a su derecha, a la vez que se coloca la coma decimal a continuación del cociente.
Seguimos con la operación colocando ceros a la derecha de los restos obtenidos hasta obtener cero o hasta que se considere conveniente.
Conjunto de los números racionales ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Halla la fracción generatriz de 0,177777……
Ejercicio 2
Halla la fracción generatriz de 0,5832
Ejercicio 3
Efectúa
Ejercicio 4
Efectúa
Ejercicio 5
Halla:
Ejercicio 6
¿Cuántas fracciones impropias de denominador 120 están comprendidas entre 4/3 y 5/2?
Ejercicio 7
Halla los 3/5 de los 5/7 de 140
Ejercicio 8
¿Cuánto le falta a 2/7 de 7/9 para que sea equivalente a 3/5 de 5/6?
Ejercicio 9
Ejercicio 10
De una mezcla en la que 24 litros son de agua y los otros 96 litros son de leche, se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua. Luego, del resto se extrae la tercera parte y se vuelve a reemplazar por agua. Finalmente, del nuevo resto se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua. ¿Cuánto de leche se extrajo en total?
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Evolución
1) Conjunto de los Números Naturales (N). N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número infinito de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
2) Conjunto de los Números Cardinales (N*). N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+) Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto. Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.
4) Conjunto de los Números Enteros (Z). Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos. Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados. Z = Z - U {0} U Z +
5) Conjunto de los Números Racionales Q. Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).
Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
6) Conjunto de Números Irracionales (I).
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción. Ejemplos: 1,4142135.... 0,10200300004000005....
7) Conjunto de Números Reales (R). R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.
8) Conjunto de Números Imaginarios (i)
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1. Debes tener en cuenta: i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.
9) Conjunto de Números Complejos (C)
La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.
Características estructurales
Sus características estructurales más importantes son:
No son conjuntos finitos.
Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
Admiten relación de orden.
Admiten relación de equivalencia.
Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:
Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números complejos.
El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.
Formas de representación
Los conjuntos numéricos se pueden representar:
Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el conjunto anterior es el conjunto de "los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los once primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical ("|").
Por intervalos.
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturalesnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturalesnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número naturalnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros nosiempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
Los números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Unnúmero irracionales un número queno se puedeescribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números
En fracción
¿Racional o irracional?
5
5/1
Racional
1,75
7/4
Racional
.001
1/1000
Racional
√2 (raíz cuadrada de 2)
?
¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3
1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99
9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Evolución
1) Conjunto de los Números Naturales (N). N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número infinito de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
2) Conjunto de los Números Cardinales (N*). N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+) Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto. Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.
4) Conjunto de los Números Enteros (Z). Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos. Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados. Z = Z - U {0} U Z +
5) Conjunto de los Números Racionales Q. Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).
Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
6) Conjunto de Números Irracionales (I).
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción. Ejemplos: 1,4142135.... 0,10200300004000005....
7) Conjunto de Números Reales (R). R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.
8) Conjunto de Números Imaginarios (i)
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1. Debes tener en cuenta: i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.
9) Conjunto de Números Complejos (C)
La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.
Características estructurales
Sus características estructurales más importantes son:
No son conjuntos finitos.
Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
Admiten relación de orden.
Admiten relación de equivalencia.
Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:
Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números complejos.
El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.
Formas de representación
Los conjuntos numéricos se pueden representar:
Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el conjunto anterior es el conjunto de "los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los once primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical ("|").
Por intervalos.
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturalesnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturalesnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número naturalnosiempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros nosiempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
Los números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Unnúmero irracionales un número queno se puedeescribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números
En fracción
¿Racional o irracional?
5
5/1
Racional
1,75
7/4
Racional
.001
1/1000
Racional
√2 (raíz cuadrada de 2)
?
¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3
1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99
9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
SEMANA 31 DE AGOSTO AL 04 DE SEPTIEMBRE
VALOR ABSOLUTO
SEMANA 24 AL 29 DE AGOSTO
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
Notemos que:
si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.
Antes de empezar, diremos que en todos los problemas usaremos la cuarta propiedad del apartado "Propiedades del Valor Absoluto".
Inecuación 1
Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
Inecuación 2
Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
O bien, con la notación de paréntesis,
En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos (porque la desigualdad es estricta).
SEMANA 17 AL 21 DE AGOSTO
INECUACIONES PARTE 2
1. Introducción
Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más incógnitas. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.
Los signos de desigualdad que se utilizan en las inecuaciones son: <, >, ≤ y ≥:
a < b significa "aes menor estrictamente que b". Por ejemplo: 2 < 3.
a > b significa "a es mayor estrictamente que b". Por ejemplo: 3 > 2.
a ≤ b significa "a es menor o igual que b". Por ejemplo: 2 ≤ 2.
a ≥ b significa "a es mayor o igual que b". Por ejemplo: 3 ≥ 2.
Nota: se dice que los signos < y > son estrictos porque no puede darse la igualdad. Es decir, indican "menor" y "mayor", respectivamente, pero nunca "igual".
2. Solución de una inecuación
La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar la incógnita x para que se cumpla la inecuación. A diferencia de las ecuación (cuyo signo es "="), no podemos saber de antemano el número de soluciones.
Puede darse el caso en que la solución es sólo un punto (por ejemplo, x=2), un intervalo (por ejemplo, x∈[0,2]), una unión de intervalos o que no exista ninguna solución.
3. Tipos de inecuaciones
Inecuación lineal: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de primer grado.
Ejemplo:
x+2≤0
La solución de esta inecuación es el intervalo (−∞,−2].
Inecuación de segundo grado: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de grado menor o igual que 2.
Ejemplo:
x2<0
Esta inecuación no tiene soluciones (reales) puesto que ningún número al cuadrado es negativo.
Inecuación racional: cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente de polinomios.
Ejemplo:
2x≤0
La solución de esta inecuación es x∈(−∞,0).
Inecuación con valor absoluto: cuando en las expresiones algebraicas hay valores absolutos.
Ejemplo:
|x|<0
Esta inecuación no tiene solución porque el módulo (valor absoluto) de un número es siempre mayor o igual que 0.
Resolvemos este tipo de inecuaciones en otra página:
La metodología de resolución es análoga a la de las ecuaciones, pero teniendo siempre en cuenta que se trata de una desigualdad. Esto supone, por ejemplo, cambiar el signo de desigualdad cada vez que multiplicamos o dividimos por un negativo para mantener la relación.
Ejemplo:
2≤3
Para multiplicar por un negativo, por ejemplo, -2, cambiamos la desigualdad al resultado:
−2⋅2≥−2⋅3
−4≥−6
Notemos que si no la cambiamos, obtenemos una relación falsa (−4≤−6).
Intervalos: en los intervalos utilizaremos los símbolos "(" y "[" para el extremo izquierdo y los símbolos ")" y "]" para el extremo derecho. Los paréntesis indican que el extremo está incluido en el intervalo y los corchetes indican lo contrario.
Por ejemplo, el intervalo (2,3) están incluido en el intervalo [2,3), pero también en (2,3] y en [2,3]. Sin embargo, el intervalo [2,3) no está incluido en (2,3] ni en (2,3).
Para expresar la unión de dos o más intervalos utilizamos el símbolo ∪.
5. Inecuaciones lineales resueltas
Inecuación 1
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal (los que tienen x y los que no) como hacemos en las ecuaciones de primer grado, pero sin multiplicar ni dividir toda la inecuación por un número negativo:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde los paréntesis indican que los extremos del intervalo no están incluidos (desigualdad estricta). Por ejemplo, los siguientes valores sí verifican la inecuación:
x=−8.0001
x=−9
x=−10000000000
Inecuación 2
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:
Ahora, para aislar la incógnita tenemos que dividir la inecuación por su coeficiente, que es -24. Como este número es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde el corchete de la derecha indica que se incluye el extremo del intervalo (es donde se cumple la igualdad).
Inecuación 3
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:
Calculamos el mínimo común múltiplo (comunes y no comunes al mayor exponente) de los denominadores para poder sumar las fracciones:
Realizamos los cambios en las fracciones y las sumamos:
Como el denominador, 300, es positivo, podemos multiplicar toda la inecuación por 300 para que éste desaparezca:
Para aislar la incógnita tenemos que dividir por su coeficiente. Como éste es positivo, no cambia el signo de desigualdad:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde el corchete indica que también se incluye el extremo derecho.
SEMANA 10 AL 14 DE AGOSTO
INECUACIONES DE PRIMER
Inecuaciones de primer grado
Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es uno.
Ejemplos:
es una inecuación de primer grado.
es una inecuación de primer grado.
no es una inecuación de primer grado porque la variable se encuentra en el denominador.
Resolución de una inecuación de primer grado paso a paso
Hallar los valores de que satisfacen la inecuación
1 Eliminamos primero los paréntesis y después los corchetes
2 Para eliminar los denominadores multiplicamos ambos lados de la inecuación por el mínimo común multiplo de los denominadores que aparecen en la inecuación, es decir, por y simplificamos las expresiones
3 Despejamos las al lado izquierdo de la inecuación y las constantes al lado derecho. Para esto restamos y en cada lado de la inecuación y simplificamos las expresiones
4 Para despejar multiplicamos ambos lados de la inecuación por . Al multiplicar ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación
5 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma gráfica
6 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma de intervalo
SEMANA 03 AL 07 DE AGOSTO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
EJERCICIOS CON LENGUAJE ALGEBRAICO
Para resolver los problemas de ecuaciones debemos:
Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar.
Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problemas de ecuaciones que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.
Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.
Para plantear la ecuación volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.
El siguiente paso es resolver la ecuación.
Por último y muy importante, es interpretar la solución.
Siempre, siempre, debemos comprobar que nuestra solución es acorde a lo expuesto. La traducción que hemos hecho de nuestros problemas de ecuaciones debe ser lógica y exacta.
Algunos trucos que nos servirán de ayuda:
Un número cualquiera = x ( Por ejemplo, si x=1, x=2, x=4,…)
Número consecutivos = x, x+1, x+2 …. ( si x= 1, x+1= 2, x+2= 3)
Números pares = 2x (si x=1, 2.1= 2, si x=2, 2.2=4, si x=3, 2.3=6)
Números impares = 2x-1 ( si x= 2, 2.2-1= 3, si x=3, 3.2-1=5)
La mitad de un número = x/2 ( si x= 1, ½, si x= 2, 2/2= 1)
La tercera parte de un número = x/3
Tres hermanos se reparten 1300$. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?
Planteamiento: Hermano mayor: 2 (4x) (doble que el mediano) Hermano mediano: 4x (4 veces lo del pequeño) Hermano pequeño: x (llamamos “x” a lo que recibe el pequeño)
En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Planteamiento:
Base: x+18 (mide 18 cm más que la altura)
Altura: x (desconocemos la longitud de la altura)
X X+18
Ecuación:“el perímetro mide 76 cm” (suma de sus lados)
x+x+(x+18)+(x+18)=76
Resolución:
x+x+(x+18)+(x+18)=76 4x=76-18-18 4x=40 x=40/4= 10
Solución:
Base: x+18 = 28 cm
Altura: x = 10 cm
10 cm 28 cm
El perímetro es la suma de sus lados, 28+28+10+10 = 76 cm
Lista de problemas de ecuaciones a continuación:
Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.
Halla los números que sumados con su anterior y con su siguiente sea 114.
Calcula el número que se triplica al sumarle 26.
La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número?
¿Qué edades tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
SEMANA 27 AL 31 DE JULIO
LENGUAJE ALGEBRAICO
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades. EL lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de AL-Khwarizimi durante la edad media. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (+ -x %).
Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones aritméticas. El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a una potencia. El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.
Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas mas usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números
a + b
La resta o diferencia de dos números
X – y
El producto de dos números
ab
El cociente de dos números
X/y
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
a+b/a-b
El doble de un número
2X
El doble de la suma de dos números
2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números
3(x-y)
La mitad de un número
X/2
La mitad de la diferencia de dos números
(x-4)/2
El cuadrado de un número
El cuadrado de la suma de dos números
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
La suma de 3 números
A+b+c
La semi suma de dos números.
(a+b)/2
SEMANA 20 DE JULIO AL 24 DE JULIO
ECUACIONES DE UNA INCOGNITA CON RACIONALES
¿Qué son las ecuaciones racionales?
Son aquellas ecuaciones cuyo primer término contiene un cociente de polinomios.
P(x)/Q(x) =0
Donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Es decir, son aquellas ecuaciones en las que nos aparece una “x” en el denominador.
Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos que tener en cuenta que los numeradores algebraicos, al igual que los numéricos, se suprimen multiplicando por su mínimo común múltiplo (o el producto de todos ellos).
No podemos olvidar que en este tipo de ejercicios debemos tener cuidado con las soluciones. Debemos comprobarlas para evitar las falsas.
Ejemplo 1 ecuación racional:
En este caso, al despejar el denominador nos queda:
Para ninguno de los dos valores se anula el denominador de nuestra ecuación, por tanto, ambas son soluciones de nuestra ecuación.
Ejemplo 2 ecuación racional:
En primer lugar realizamos el mínimo común múltiplo de (x-1) y (x+1):
Lo hemos realizado igual que si fuese fracciones con números.
Nuestro denominador es (x+1). (x-1).
Ahora despejamos el denominador y resolvemos la ecuación resultante:
En este caso, comprobando las soluciones en la ecuación inicial, vemos como la única solución posible sería el x=3.
¿Cómo se resuelven?
Sabemos que cuando nos aparecen las fracciones en nuestros ejercicios, nos entra el miedo. Pero, no te preocupes, lo veremos más claro con estas ecuaciones resueltas y explicadas.
Por tanto, procedemos a multiplicar toda nuestra ecuación por 40. Recuerda, toda la ecuación, ambos lados de la igualdad.
Ahora procedemos, paso a paso y con mucho cuidado de no dejarnos nada atrás a multiplicar.
5. (x+3) – 4. (x-3) = 10. (x-5) -40
5x+15-4x+12=10x-50-40
Recuerda, los signos, no te olvides de multiplicarlos y tenerlos en cuenta.
5x-4x-10x= -50-40-15-12
-9x= -117
X= -117/-9 = +13
X= +13
Comprobamos la solución:
2-1= 2-1
1=1
Intenta resolver ahora tú mismo estos ejemplos de ecuaciones de primer grado con fracciones, te los resolveremos a continuación:
¿Ya lo has intentado? Comprueba ahora las soluciones con el ejercicio resuelto:
El primer ejercicio sería:
m.c.m.(5,6,7) = 210
42. (x-7) -35. (x-11) +30. (x-10) = 420
42x-294-35x+385+30x-300= 420
42x-35x+30x=420+300-385+294
37x= 629
X= 629/37 =17
X= 17
2-1+1=2
El segundo ejercicio sería:
El m.c.m. ( 3,6,2) = 6
2. (x-2) –(x-4) -6x= 3. (2-3x) -6
2x-4-x+4-6x=6-9x-6
2x-x-6x+9x= 6-6-4+4
+4x=0
X= 0/4 = 0
X= 0
0=0
SEMANA 13 DE JULIO AL 17 DE JULIO
ECUACIONES CON UNA INCOGNITA TRASPONIENDO TÉRMINOS
Las ecuaciones de primer grado son aquellas que se componen de dos expresiones matemáticas que se unen por el signo de igual. A la expresión que se encuentra a la izquierda del signo la llamaremos primer miembro, mientras a la expresión que se encuentra a la derecha la llamaremos segundo miembro. Para resolver ecuaciones de primer grado las cuales también podemos llamar ecuaciones lineales debemos en primer lugar quitar paréntesis y simplificar, luego quitar denominadores si es que los hay y simplificar, para luego proceder a la transposición de términos. Por ultimo despejamos el coeficiente de la incógnita y simplificamos. Esto consiste en trasladar al otro miembro el coeficiente que acompaña a esta, ya que el que multiplica pasa al otro miembro y viceversa.
Llamaremos transposición de términos a una técnica que nos permite poder solucionar ecuaciones de forma simple. La transposición de términos nos permite agrupar en un miembro todos los términos con x, y en otro los términos que son independientes. Para solucionar ecuaciones, podemos proceder a eliminar términos, por medio de la suma o la resta, multiplicando o dividiendo (por números que sean distintos de cero) en los dos miembros. Para simplificar este proceso podemos hacer que un término que figura en un miembro aparezca de forma inversa al otro, o sea, si se está sumando en un miembro, en el otro se restará, y si se está restando aparecerá sumando. O sea en que en la transposición de la suma el número del primer término que está sumando lo llevaremos al segundo termino restando, luego restaremos ambos números en el segundo termino, dando así la solución y viceversa en el caso de la transposición de una diferencia. Observemos entonces los siguientes ejemplos:
Si se está multiplicando en un miembro, en el otro se aparecerá dividiendo, y si se está dividiendo en el otro se multiplicará.o sea que en la transposición de un producto el número del primer término es decir el que está multiplicando lo llevamos al segundo término dividiendo, luego realizamos el cociente, obteniendo la solución, lo mismo pasa en la transposición de un cociente pero de forma inversa, observemos los siguientes ejemplos:
(En estos ejemplo a y b son los términos independientes mientras x es la incógnita de la ecuación)
Descripción y ejemplos.
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos :
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.
Solución numérica y gráfica.
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)
Cambia los valores de x en la escena adjunta, "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Ejercicio 2.
Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.
Combrueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x: se escribe 3*x.
Ecuaciones sin solución.
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, es decir, no existe la solución.
Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
En la escena anterior cambia la ecuación actual por ésta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.
Ecuaciones con infinitas soluciones.
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3
Problemas de aplicación.
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
La solución de la ecuación se puede ver también en esta escena
Plantea y resuelve numéricamente, y gráficamente en esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).
Ejercicios finales.
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x b) 2(x-7)-3(x+2)+4(x+1)-2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !) c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2) d) 3x + 4 - x = 7 + 2x e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectángular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m) b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
SEMANA 06 DE JULIO AL 10 DE JULIO
ECUACIONES
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.
Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.
Partes de una ecuación
Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.
Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).
Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.
Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:
constantes;
coeficientes;
variables;
funciones;
vectores.
Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.
Ejemplo de ecuación algebraica
Tipos de ecuaciones
Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a su función. Conozcamos cuáles son.
1. Ecuaciones algebraicas
Las ecuaciones algebraicas, que son las fundamentales, se clasifican o subdividen en los diversos tipos que se decriben a continuación.
a. Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales
Son las que involucran una o más variables a la primera potencia y no presenta producto entre variables.
b. Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cuadrado.
Por ejemplo: ax2 + bx + c = 0
c. Ecuaciones de tercer grado o ecuaciones cúbicas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cubo.
Por ejemplo: ax3+ bx2 + cx + d = 0
d. Ecuaciones de cuarto grado
Aquellas en las que a, b, c y d son números que forman parte de un cuerpo que puede ser ℝ o a ℂ.
Por ejemplo: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
2. Ecuaciones trascendentes
Son un tipo de ecuación que no se puede resolver solo mediante operaciones algebraicas, es decir, cuando incluye al menos una función no algebraica.
Por ejemplo,
3. Ecuaciones funcionales
Son aquellas cuya incógnita son una función de una variable.
Por ejemplo,
4. Ecuaciones integrales
Aquella en que la función incógnita se encuentra en el integrando.
5. Ecuaciones diferenciales
Aquellas que ponen en relación una función con sus derivadas.
ECUACIONES ALGEBRAICAS
Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática. Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se escribe:
No significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual en matemática.
A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =. Cuando se escribe:
x – 3 = x + 4 – 7 y x² – 9 = 0
Se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas. En el primer caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que se le debe dar al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la igualdad x2 – 9 = 0 representen al mismo número?.
Son algunos ejemplos de identidades las expresiones:
1) 6 + 11 – 5 = 12
2) x + 7 = 7 + x
3) (x² – 1)² = x⁴ – 2x² +1
4) 2x + 4 – 5x = 1 – 3x + 3
Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación.
Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de x son iguales. Es costumbre llamar a la variable de una ecuación incógnita.
Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección. Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la ecuación:
Son algunos ejemplos de ecuaciones las expresiones:
1) x – 15 = 12
2) x² + 7x = -6
3) 12x = 3x + 18
4) 3x³ – 8 = 57
x – 5 = 10
tiene por raíz a x = 15. Por otro lado, resolver la ecuación:
x² – 11x + 10 = 0
Es ya un problema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego, hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las soluciones. En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes:
4x – 20 = 0 ; 4x = 20 ; x = 5
Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:
4x – 20 = 0 es de primer grado
x² – 11x + 10 = 0 es de segundo grado
y³ + 2y² – y – 2 = 0 es de tercer grado
t⁴ – 5t² + 4 = 0 es de cuarto grado
Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen expresiones racionales, como por ejemplo:
A este tipo de ecuación se le conoce como ecuaciónracional.
Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable dentro uno o más radicales, llamadas ecuacionesirracionales. Por ejemplo:
Analizaremos los siguientes tipos de ecuaciones algebraicas:
Ecuaciones Algebraicas de Primer Grado
La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:
ax + b = 0
donde a y b son números reales y a ≠ 0. Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.
Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:
Si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.
Si se multiplica o divide ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, sus soluciones no varían.
Ejemplo:
Considérese la ecuación:
7x – 4 = 3x + 8
Se transponen términos:
7x – 3x = 8 + 4
Se reducen términos semejantes:
4x = 12
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
x = 12÷4
x = 3
Se puede verificar que el valor encontrado efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la prueba de que valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la ecuación dada, y si es cierto se convertirá en una identidad; así en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta:
7x – 4 = 3x + 8
7x – 4 = 3x + 8
7(3) – 4 = 3(3) + 8
21 – 4 = 9 + 8
17 = 17
Lo cual es cierto, por lo tanto la solución para la ecuación si es x = 3
Ejercicios con solución:
Consigue el conjunto de soluciones para las siguientes ecuaciones:
1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)
3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)
4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)
5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3
6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x)
Solución:
1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
Se transponen términos. Los términos (7y) y (5y) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-81) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.
5y + 6y -7y – 65y = 102 + 81
Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “y” en el primer miembro y se suman los números del segundo miembro.
-61y = 183
Como el coeficiente de la variable “y” es negativo se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:
61y = -183
Se despeja a la variable “y”: El coeficiente 61 que esta multiplicando a la variable “y” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro
y = -183÷61
y = -3
2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)
Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:
5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6
Se transponen términos: Los términos 8x y (-3x) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. Los números 5 y (-6) del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.
– 3x + 4x – 8x + 3x = 11 + 6 – 5 + 6
Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.
-4x = 18
Se multiplica por(-1) a los dos miembros de la ecuación:
4x = -18
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)
Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:
2t – 10 = 3 – t – 4
Se transponen términos : El términos (-t) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-10) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.
2t + t = 3 – 4 + 10
Se reducen términos semejantes: Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.
3t = 9
Se despeja a la variable “t”: El coeficiente 3 que esta multiplicando a la variable “t” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
t = 9 ÷ 3
t = 3
4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)
Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
Se transponen términos: Los términos (-6x²) y 13x del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número 15 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.
-6x² + 6x² + 5x – 13x = 47 – 15
Se reducen términos semejantes : Se restan los coeficientes de “x²” , se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números del segundo miembro.
-8x = 32
Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:
8x = -32
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 8 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
x = -32 ÷ 8
x = -4
5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3
Se eliminan los paréntesis: El signo negativo que precede(esta antes de) al paréntesis le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.
x – {5 + 3x – [5x – x – 6]} = -3
Se eliminan los corchetes: El signo negativo que precede al corchete le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.
x – {5 + 3x – 5x + x + 6} = -3
Se eliminan las llaves: El signo negativo que precede a la llave le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro de la misma.
x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = -3
Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:
(x – 3x + 5x – x) + (- 6 – 5) = -3
Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” y se suman los números en el primer miembro.
2x – 11 = -3
Se transponen términos:
2x = -3 + 11
Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se restan los números en el segundo miembro.
2x = 8
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 2 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
x = 8 ÷ 2
x = 4
6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x)
Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
5b.x + 5b.5b = 2b.2b – 2b.x
5bx + 25b² = 4b² – 2bx
Se transponen términos: El término (-2bx) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 25b² del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.
5bx + 2bx = 4b² – 25b²
Se reducen términos semejantes : Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro, se restan los coeficientes de “b²” en el segundo miembro.
7bx = -21b²
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7b que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
x = -21b² ÷ 7b
Se divide 21÷7 y se aplica división de potencias de igual base (b²÷b):
x = -3b
Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:
m.c.m.(2,3,4 y 5) = 60
El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:
El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.
En el primer término del primer miembro: 60 ÷ 2 = 30, el cociente de esa división que es 30 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 30.(x-1).
En el segundo término del primer miembro: 60 ÷3 = 20, el cociente de esa división que es 20 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 20.(x-2).
En el tercer término del primer miembro: 60 ÷4 = 15, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 15.(x-3).
En el primer término del segundo miembro: 60 ÷ 5 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.(x-5).
30(x – 1) – 20(x – 2) – 15(x – 3) = 12 (x – 5)
Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:
(30x – 20x -15x) + ( -30 + 40 + 45) = -12x + 60
Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” , se suman y restan los números en el primer miembro.
-5x + 55 = -12x + 60
Se transponen términos: El término (-12x) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 55 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.
-5x + 12x = 60 – 55
Se reducen términos semejantes: Se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números en el segundo miembro.
7x = 5
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
;
Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:
m.c.m.(6 y 4) = 12
El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.
En el primer término del primer miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4=48.
En el segundo término del primer miembro: 12 ÷ 6 = 2, el cociente de esa división que es 2 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –2.(10x+1).
En el primer término del segundo miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4x=48x.
En el segundo término del segundo miembro: 12 ÷ 4 = 3, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –3.(16x+3).
48 – 2(10x + 1) = 48x – 3(16x + 3)
Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
48 – 2.10x – 2.1 = 48x – 3.16x – 3.3
48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9
Se agrupan términos semejantes:
-20x + (48 -2) = (48x – 48x) – 9
Se reducen términos semejantes: Se restan los números del primer miembro y se restan los coeficientes de la variable “x” en el segundo miembro.
-20x + 46 = – 9
Se transponen términos: El número 46 del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo.
-20x = – 9 – 46
Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se suman los números del segundo miembro, recuerda que signos iguales se suman y se copia el mismo signo.
-20x = -55
Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:
20x = 55
Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 20 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
Para simplificar la fracción se divide por 5 el numerador y el denominador.
SEMANA 30 DE JUNIO AL 03 DE JULIO
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de fracciones algebraicas. Ejercicio resuelto paso a paso.
Las fracciones algebraicas se multiplican igual que las fracciones numéricas, es decir, se multiplican en línea: numerador por numerador y denominador por denominador, solo que en este caso, en vez de números tenemos polinomios:
Hay que tener en cuenta también otra pequeña diferencia (aunque es sólo una recomendación) que te paso a explicar:
En la multiplicación de fracciones numéricas, se multiplican los números en línea y al final se simplifica la fracción. Con fracciones algebraicas, podemos hacerlo igual, pero las operaciones se complicarían demasiado.
Así que, lo que yo recomiendo es que antes de multiplicar, descompongamos los polinomios y eliminemos los factores que se repitan en el numerador y el denominador, es decir, que simplifiquemos antes de multiplicar.
Una vez hemos eliminado todos los factores repetidos, ya podemos multiplicar tanto en el numerador como en el denominador, para mostrarlo en el resultado. Es decir, multiplicamos al final.
Vamos a resolver un ejemplo paso a paso, para que te quede más claro lo que te acabo de decir.
Tenemos la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas:
Al ser una multiplicación de fracciones, multiplicamos en línea, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador, pero al ser polinomios, solamente lo dejamos indicado, no los multiplicamos:
Antes de multiplicar, vamos a descomponer los polinomios que se puedan descomponer. Empezamos por el polinomio correspondiente al numerador de la primera fracción:
Descomponemos también el polinomio del denominador de la primer fracción:
Los otros dos polinomios no se pueden descomponer, al ser ya de grado 1.
Si quieres aprender cómo descomponer polinomios paso a paso lo tienes explicado en el Curso de Polinomios.
Sustituimos los polinomios por sus correspondientes descomposiciones:
Ahora simplificamos la fracción algebraica, eliminando los factores que se repiten en el numerador y en el denominador:
Y nos queda:
Que multiplicamos para obtener el resultado final:
Si hubiésemos multiplicado al principio, al final nos hubieran quedado dos polinomios de mayor grado, los cuales hubiera sido mucho más difícil de factorizar.
Siguiendo este procedimiento, llegamos al resultado mucho más directamente.
Vamos a ver ahora la división de fracciones algebraicas.
División de fracciones algebraicas. Ejercicio resuelto paso a paso
La división de fracciones algebraicas también se realiza igual que una división de fracciones numéricas, es decir, se multiplica en cruz:
Como en el caso de la multiplicación, también conviene dejar la multiplicación indicada y factorizar los polinomios antes de realizar la multiplicación, para llegar al resultado simplificado de una manera más directa.
Vamos a verlo con otro ejemplo:
Al ser una división de fracciones algebraicas, multiplicamos los polinomios en cruz y lo dejamos indicado (sin llegar a realizar la multiplicación de polinomios):
Ahora descomponemos los polinomios:
Uno de los polinomios del numerador no se puede descomponer aunque es de grado 2, ya que su función no tiene soluciones raíces.
Sustituimos cada polinomio por su descomposición:
Eliminamos los factores que se repiten en el numerador y en el denominador:
Y nos queda:
Por último, multiplicamos los factores que tenemos en el denominador para obtener el resultado final:
En el caso de la división, al descomponer los polinomios antes de multiplicar en cruz, también obtenemos un resultado simplificado directamente.
Si quieres seguir aprendiendo sobre fracciones algebraicas, te recomiendo el Curso de Fracciones Algebraicas, en el que aprenderás entre otras cosas, cómo simplificar fracciones o como sumar y restar fracciones algebraicas.
Ejercicios propuestos
Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas:
SEMANA 22 AL 26 DE JUNIO
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador .
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1) , este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m . de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.) . (No confundir con M.C.D, Máximo Común Divisor)
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab
a 2
15b 2
÷
a
5b
a
15b 2
÷
a
5b
1
15b 2
÷
b
5
1
15b
÷
b
5
1
15
÷
5
1
1
3
÷
3
1
1
1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a 2 • b 2 • 15 que es lo mismo que 15a 2 b 2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a 2 b 2 ) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a 2 b 2 ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables .
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas .
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)
2)
3)
SEMANA 15 AL 19 DE JUNIO
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador .
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1) , este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m . de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.) . (No confundir con M.C.D, Máximo Común Divisor)
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab
a 2
15b 2
÷
a
5b
a
15b 2
÷
a
5b
1
15b 2
÷
b
5
1
15b
÷
b
5
1
15
÷
5
1
1
3
÷
3
1
1
1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a 2 • b 2 • 15 que es lo mismo que 15a 2 b 2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a 2 b 2 ) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a 2 b 2 ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables .
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas .
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)
2)
3)
SEMANA 08 AL 12 DE JUNIO
CUBO DE UN BINOMIO
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a” de la manera .
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.
al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios.
SEMANA 25 AL 29 DE MAYO
FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS
Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a” de la manera .
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.
al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios.
SEMANA 18 AL 22 DE MAYO
FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS
Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().
Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino .
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.
Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos.
En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo.
Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este numero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
SEMANA 11 AL 15 DE MAYO
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN: Factor Común Monomio
¿Qué es factorizar? Factorizar un NUMERO es dar como rezpuesta DOS FACTORES, tales que al multiplicarlos nos den el NUMERO dado. Ejemplo: Factorizar 8 Respuesta 8 = (4)(2) Pasos para factorizar expresiones algebraicas:
1. Hallar el Máximo Común Divisor de los Coeficientes.
2. Hallar la(s) variable(s) común con su menor exponente.
3. Dividir la expresión dada entre el factor común encontrado. No te olvides que al dividir los exponentes SE RESTAN. NOTA: Para entender bien este tema es requisito saber primero la Multiplicación y División de Monomios.
EJEMPLOS:
Explicación.
Se ha dividido lo siguiente:
25x4 : 5x2 = 5x2
-30x3 : 5x2 = -6x
5x2 : 5x2 = 1
Explicación.
Se ha dividido lo siguiente:
3x3y4 : 3x3y4 = 1
-15x4y5 : 3x3y4 = -5xy
6x5y5: 3x3y4 = 2x2y
SEMANA 4 AL 8 DE MAYO
COCIENTES NOTABLES
Son ciertos cocientes que cumplen reglas fijas, evitando así la división de polinomio. También se puede decir, que aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, es decir que el resto es igual a cero.
Dentro de los diferentes cocientes notables tenemos: la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas por la suma de estas cantidades, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades, la suma de los cubos de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades y la diferencia del cubo de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades.
1-) Diferencia de los Cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades: Es igual a la diferencia de las dos cantidades en cuestión.
Ejemplos:
2-) Diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades: Es igual a la suma de las dos cantidades en cuestión.
Ejemplos:
3-) Suma de los cubos de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades: Es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.
Nota: Primero sacar la raíz cubica y luego aplicar la regla.
Ejemplos:
4-) Diferencia del cubo de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades: es igual al cuadrado de la primera cantidad más la multiplicación de la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
Productos notables
Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.
A CONTINUACIÓN SE PRESENTA LA VIDEO CLASE:
A CONTINUACIÓN SE PRESENTAN LAS ACTIVIDADES A DESARROLLAR:
UNA VEZ DESARROLLADOS LOS EJERCICIOS, ENVIAR AL SIGUIENTE CORREO: edwingonzalezp1562@gmail.com
es el producto que resulta de tomar a como factor n veces, es decir.
, para todo número real.
para todo número entero n.
, para todo número entero positivo k.
, para todo número real a, 
![(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})*(\sqrt{2})*(\sqrt{2})=[(\sqrt{2})*(\sqrt{2})]=2 (\sqrt{2})=2(\sqrt{2})](https://bachilleratoenlinea.com/educar/filter/tex/pix.php/8bce9d6870e401296d3c82a558300b14.gif "(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})*(\sqrt{2})*(\sqrt{2})=[(\sqrt{2})*(\sqrt{2})]=2 (\sqrt{2})=2(\sqrt{2})")
.
![[(\sqrt[8]{3})^4]^2](https://bachilleratoenlinea.com/educar/filter/tex/pix.php/556d357c20da29d1b10ffbcdce4ceb7a.gif "[(\sqrt[8]{3})^4]^2")
![=(\sqrt[8]{3})^{4*2}](https://bachilleratoenlinea.com/educar/filter/tex/pix.php/824315c0bb5ed33ec989e106176b389e.gif "=(\sqrt[8]{3})^{4*2}")
![=(\sqrt[8]{3})^8=3](https://bachilleratoenlinea.com/educar/filter/tex/pix.php/6a531fb5eb661262589f6e5252159201.gif "=(\sqrt[8]{3})^8=3")
tenemos:
es un número que cumple que
es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
. Entonces,
y 
son números reales cualesquiera, se cumple que:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-507fbeedb70b5999445a1b58c4f3f647_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
.
es una inecuación de primer grado.![{3(x-1)+2[2-x-3(x+2)]\ge 5(1-x)+3, \ \ }](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa0708f424ac07a1af5ecffbd5b72862_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
es una inecuación de primer grado.
no es una inecuación de primer grado porque la variable se encuentra en el denominador.
que satisfacen la inecuación![{2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] \le \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26114ce40b8c3b63a4d0ca00feaef76c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![{\begin{array}{rcl}2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2-\left[-2x-2-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e51ff54a44ebd4a8632b047bfa5e8a70_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
y simplificamos las expresiones
y 
en cada lado de la inecuación y simplificamos las expresiones
. Al multiplicar ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
La suma de 3 númerosA+b+cLa semi suma de dos números.(a+b)/2
Ejemplo de ecuación algebraica
se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra 
, entonces: 
) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a
” de la manera 
.
la que seria “ax”.
Ejemplos:
Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios.
).
.
Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos.
En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo.
Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este numero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple numero sino que tiene una forma 
, en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 
y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
Explicación.
Se ha dividido lo siguiente:
25x4 : 5x2 = 5x2
-30x3 : 5x2 = -6x
5x2 : 5x2 = 1
Explicación.
Se ha dividido lo siguiente:
3x3y4 : 3x3y4 = 1
-15x4y5 : 3x3y4 = -5xy
6x5y5: 3x3y4 = 2x2y
Dentro de los diferentes cocientes notables tenemos: la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas por la suma de estas cantidades, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades, la suma de los cubos de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades y la diferencia del cubo de dos cantidades divididas entre la diferencia de estas cantidades.
Ejemplos:
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